二叉树的性质与存储结构

二叉树是一种特殊的树，其主要特点便是每个结点至多拥有两棵子树（每个结点的度不超过2），同时，由于存储字符的简单应用以及访问顺序的要求，二叉树的子树有着左右子树之分，同时左右子树的顺序也不能颠倒。二叉树中所谓的“树”仅仅只是一种数据结构的载体。每一个结点可以表示成二叉链表的形式。这一点在本文的第二部分会谈到。

1.二叉树的性质

性质1：第i层上至多有 $2^{i-1}$ 个结点（i从1开始增加）

性质2：深度为 l 的二叉树至多有 $2^{l}-1$ 个结点

二叉树的深度为l，每一层上的结点数目为 $2^{i-1}$ ，由等比数列的求和公式可以得出结果：

$\sum_{i=1}^{i=l}2^{i-1}=2^{l}-1$

性质3：对于任何一棵二叉树，若叶子结点数为 $N0$ ,度为2的结点数为 $N2$ ，则 $N0=N2+1$

由树的基本定义与结构中可以了解得叶子结点数与度的概念，假设二叉树中的结点总数为 $N$ ,同时度为1的结点数为 $N1$ ，有以下等式：

$N=N0+N1+N2$

根据度的概念可以得知，结点向下延伸的直线连接至另一个结点，向下关联的结点数目就是结点的度，而每一个结点仅仅只有一条由上向下连接的直线。所以，所有的结点数目之和等于连接的直线数加1（1代表顶端的根结点），度为2的点向下发出的直线数目为2，度为1的结点发出的数目为1：

$N=2*N2+N1+1$

综合以上两式，得出结论为： $N0=N2+1$

注：完全二叉树与满二叉树的区别，满二叉树是指深度为l，并且具有 $2^{l}-1$ 个结点的二叉树，完全二叉树是指在深度为l，结点数为n的二叉树中，当且仅当每一个结点与深度为l的满二叉树中编号为1至n的结点一一对应时，该二叉树称作完全二叉树（即二叉树若存在第l层，其上l-1层必定是满二叉树）。两种二叉树的示意图如下：

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度k为

$\left \lfloor log _{2}n\right \rfloor+1$

假设完全二叉树的深度为k，又因为完全二叉树的性质，导致其节点数目n处于 $2^{k-1}-1$ 至 $2^{k}-1$ 之间，得出 $k-1\leqslant log_{2} n< k$ ，由于k是整数的缘故，所以

$k=\left \lfloor log_{2} n\right \rfloor+1$

性质5：若对一棵有n个结点的完全二叉树结点按每一层从左到右的顺序来编号，对于任何一个编号为i的结点均有以下结论：

（1） i = 1，则 i 是二叉树的根，无双亲。若i >1，则双亲是编号为 $\left \lfloor i/2 \right \rfloor$ 的结点

（2）若 2*i> n，结点i无左孩子，否则，其左孩子结点的编号为2*i

（3）若2*i+1>n，则结点i 无右孩子，否则其右孩子是节点2*i+1

以图“完全二叉树”为例，编号为3的结点无右孩子，编号为4、5、6的结点无左孩子

2.二叉树的链式存储结构

二叉树的结构相比普通的链表结点较为复杂些，一种形式的二叉树结点结构包括一个数据域以及两个指针域（指针域为左右指针域），有时候更为复杂的结构还包括了一个parent指针用于指向二叉树的双亲结点，存储结构的主要示意图以及代码如下：

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
typedef struct BiTnode
{
    int data;
    struct BiTnode *left,*right;
}BiTNode,*BiTree;

二叉树的性质与存储结构

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