bzoj 5314 [Jsoi2018]潜入行动 树形dp

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解法

细节多到烦死人的树形dp
其实想清楚了自然就没什么问题了

• 树形背包应该是比较显然的，先考虑如何设计状态
• 设$f[i][j][0/1][0/1]$表示点$i$所在的子树中选取$j$个点，是否装有通信设备，是否被其子节点监控的方案数
• 假设当前我们做到的节点为$x$，枚举到$x$的其中一个儿子为$y$，假设$x$已经被遍历到的子树连$x$已经选取了$i$个点，$y$子树中选$j$个点，考虑如何转移
• 考虑如何求$f[x][i+j][0][0]$，显然，这个就表示$x$这个点啥都没装，且只能被父节点控制，那么我们就可以十分轻松地得到以下转移方程：$f[x][i+j][0][0]+=f[x][i][0][0]×f[y][j][0][1]$，因为如果$y$没有被其子节点控制的话，那么这个方案显然是不合法的
• 考虑如何求$f[x][i+j][0][1]$，显然只要$x$的任意一个儿子装有通信系统即可，而且如果$y$没有装的话就必须被它的子节点控制，那么我们就可以得到如下转移方程：$f[x][i+j][0][1]+=f[x][i][0][0]×f[y][j][1][1]+f[x][i][0][1]×(f[y][j][0][1]+f[y][j][1][1])$
• 考虑如何求$f[x][i+j][1][0]$，因为$x$没有被它的子节点控制，那么所有儿子也不应该装通信系统，所以就可以得到转移方程：$f[x][i+j][1][0]+=f[x][i][1][0]×(f[y][j][0][0]+f[y][j][0][1])$
• 考虑如何求$f[x][i+j][1][1]$，这个就没什么限制了，显然我们可以得到：$f[x][i+j][1][1]+=f[x][i][1][0]×(f[y][j][1][0]+f[y][j][1][1])+f[x][i+j][1][1]×(f[y][j][0][0]+f[y][j][0][1]+f[y][j][1][0]+f[y][j][1][1])$
• 那么我们就求完了四种转移方程
• 在树形dp的时候注意一下，$i,j$的边界考虑一下，不要过多枚举，不要让复杂度退化
• 时间复杂度：$O(nk)$

【注意事项】

• 在转移的时候不要用$f[x][i][0][0]$之类的直接转移，否则可能会出现很大的问题，即在转移的时候可能会算到一些不合法的情况
• 如果整棵树的深度已经$>k$了，那么可以直接输出$0$。我就是这样苟过去的
• 转移的时候注意long long问题

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define Mod 1000000007
#define N 100010
using namespace std;
template <typename node> void chkmax(node &x, node y) {x = max(x, y);}
template <typename node> void chkmin(node &x, node y) {x = min(x, y);}
template <typename node> void read(node &x) {
    x = 0; int f = 1; char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); x *= f;
}
int n, K, cnt, d[N], siz[N], g[101][2][2], f[N][101][2][2];
vector <int> e[N];
void update(int &x, int y) {x = (x + y) % Mod;}
void dfs(int x, int fa) {
    siz[x] = 1, f[x][1][1][0] = f[x][0][0][0] = 1;
    d[x] = d[fa] + 1;
    if (d[x] > K) {cout << "0\n"; exit(0);}
    for (int k = 0; k < e[x].size(); k++) {
        int y = e[x][k];
        if (y == fa) continue; dfs(y, x);
        for (int i = 0; i <= min(siz[x], K); i++) {
            g[i][0][0] = f[x][i][0][0], f[x][i][0][0] = 0;
            g[i][0][1] = f[x][i][0][1], f[x][i][0][1] = 0;
            g[i][1][0] = f[x][i][1][0], f[x][i][1][0] = 0;
            g[i][1][1] = f[x][i][1][1], f[x][i][1][1] = 0;
        }
        for (int i = 0; i <= min(siz[x], K); i++)
            for (int j = 0; j <= min(siz[y], K - i); j++) {
                update(f[x][i + j][0][0], 1ll * g[i][0][0] * f[y][j][0][1] % Mod);
                update(f[x][i + j][0][1], (1ll * g[i][0][0] * f[y][j][1][1] % Mod + 1ll * g[i][0][1] * (f[y][j][0][1] + f[y][j][1][1]) % Mod) % Mod);
                update(f[x][i + j][1][0], 1ll * g[i][1][0] * (f[y][j][0][1] + f[y][j][0][0]) % Mod);
                update(f[x][i + j][1][1], (1ll * g[i][1][0] * (f[y][j][1][0] + f[y][j][1][1]) % Mod));
                update(f[x][i + j][1][1], 1ll * g[i][1][1] * ((1ll * f[y][j][0][0] + f[y][j][0][1] + f[y][j][1][0] + f[y][j][1][1]) % Mod) % Mod);
            }
        siz[x] += siz[y];
    }
}
int main() {
    read(n), read(K);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int x, y; read(x), read(y);
        e[x].push_back(y), e[y].push_back(x);
    }
    dfs(1, 0); cout << (f[1][K][0][1] + f[1][K][1][1]) % Mod << "\n";
    return 0;
}