01背包问题（小偷偷东西）—华为18年暑期优招机试题分析

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　　在8月18号参加了华为的优招机试，三道编程题，前两道难度不算很大，第一题很简单，第二题是经典的０１背包问题，小偷偷东西，顺着这个机会也总结一下这个01背包问题，对于题目的描述一开始是凭记忆写的，后来在牛客网上看到了这个面试的题目，应该是对的，不过有小的区别也不影响题目的分析和编程实现。

考题说明

题目描述

　　小偷来到了一个神秘的王宫，突然眼前一亮，发现5个宝贝，每个宝贝的价值都不一样，且重量也不一样，但是小偷的背包携带重量有限，所以他不得不在宝贝中做出选择，才能使偷到的财富最大，请你帮助小偷计算一下。

输入描述:

宝贝价值：6,3,5,4,6
宝贝重量：2,2,6,5,4
小偷背包容量：10

输出描述:

偷到宝贝的总价值：15

示例1

输入

6,3,5,4,6

2,2,6,5,4

10

输出

15

代码实现

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    //之所以设置长度是六，我是为了和底下的6*11（第一行和第一列均为0）
    //的二维数组对应，第一个元素设置为0
    int value[6];//价值数组
    int weight[6];//重量数组

    int m;
    scanf("%d,%d,%d,%d,%d",&value[1],&value[2],&value[3],&value[4],&value[5]);
    scanf("%d,%d,%d,%d,%d",&weight[1],&weight[2],&weight[3],&weight[4],&weight[5]);
    cin>>m;

    //定义一个二维数组 dp[][],存放总价值
    int **dp;
    dp = new int*[6]; //定义了6行

    //这里是动态申请数组，每一行都是定值。其实也可以直接一开始就申请dp[6][11],然后memset（A，0，sizeof（A）），全部初始化为零;
    for(int i =0;i<=5;i++)
    {
        dp[i] = new int [m+1];//每一行都是在背包容量从0开始，到m，容量是m+1 
    }

    //初始化第一列为0
    for(int i =0;i<=5;i++)
    {
        dp[i][0] = 0;
    }
    //初始化第一行为0
    for(int j = 0;j<=m;j++)
    {
        dp[0][j] = 0;
    }

    //执行动态规划，自小到大计算，生成，value表
    for(int i = 1;i<=5;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            if(j<weight[i])
            {
                //当背包的重量小于当前物品的重点时，则沿用上一行的value值
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
            else
            {
                //否则便进行计算，分两种情况，不包含i和包含i， 非一既零原则。
                //计算两种情况中较大的值，物品数从少到多进行计算
                //因为类似于斐波那契数列，前面会用到后面的值，故采用自底向上的计算方法
                //计算公式：F[i][j] = max(F[i-1][j],F[i-1][j-w[i]]+v[i])
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j - weight[i]]+value[i]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[5][m]<<endl;
    return 0;

}

算法分析

　　基本思路是将该问题转化为子问题进行求解。考虑N件物品在限重M的背包下可选择的最大价值F[N][M],这个问题可以分解成两种情况来考虑：这是一个非黑即白的问题，因为一个物品只存在两种状态，放入背包和没有放入背包.

1. N1不放入背包，则问题转化为F[N-1][M]，N1不放入背包，则物品数减一

2. N1放入背包，问题转化为value[N1]+f[N-1][M-weight[N1]]，N1放入背包，则背包承重减少。

   　　原问题的解取上面两种情况中的最大值。既F[N][M] = max{F[N-1][M], (F[N-1][M-weight[N1]+value[N1]))}。接下来问题又变成了求解F[N-1][M]和 F[N-1][M-weight[N1]两个子问题。然后一直类推到一个物品时。以此类推的话我们解决原始问题需要子问题的解。我们需要先计算子问题，自底向上求解。解决顺序如下表。从左到右，从上到下计算。货品的顺序不影响最后的计算结果。

表格分析

　　此表格是按照计算的方向来写的。计算的方法是一样的，分析方法也是一样，在此题中没有要求按序输出选中的物品，故输入顺序并没有影响。
　　第一行和第一列初始化为0，则可以直接代入公式计算。
　　
　　第二行为只放入第一件物品，背包的最优值
　　第三行为只放入前两件物品，背包的最优值
　　…
　　依次类推，最后的F[6][11]即为最优值。

货品	weight	value	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	2	6	0	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6
2	2	3	0	0	6	6	9	9	9	9	9	9	9
3	6	5	0	0	6	6	9	9	9	9	11	11	14
4	5	4	0	0	6	6	9	9	9	10	10	13	14
5	4	6	0	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15