导数相关知识

导数

首先让我们了解一下什么是导数

比如说这幅图

我们要求x的导数，就是过x这个点的切线的斜率。

比如说就是这条黑线的斜率。

我们知道求一个一次函数y=kx+b的求法

下面是y=2x+1的函数

我们选取一段$△x$对应一段$△y$那么$k=\frac{△x}{△y}$

我们同样可以应用在二次函数$y=x^2$上

当然这样求出的斜率是$k=\frac{△x}{△y}$

跟真正的斜率的有偏差，那么我们只能将$△x$给缩小，让他无限接近于0，那么这个斜率就更精确了。

我们当然想要$△x=0$可是这个在$\frac{△x}{△y}$里是不能实现的，但是我们可以将这个公式转换。

先定义$y1=x^2$，$y2=(x+△x)^2$
因为$△y=y2-y1$所以这个公式可以变成

$$\frac{(x+△x)^2-x^2}{△x}$$
我们化简这个公式
$$\frac{(x+△x)^2-x^2}{△x}$$
$$=\frac{x^2+△x^2+2△xx-x^2}{△x}$$
$$=△x+2x$$
然后我们可以令 $△x=0$所以
$y=x^2$这个函数的斜率函数 $k=2x$

那么这个函数是n次函数呢？
证明起来有些麻烦，直接记公式$k=nx^{n-1}$

让我们看这样一个公式$y=ax^2+bx+c$
这个斜率函数$y=a*2x+b$

然后当$y=a_1x^n+a_2x^{n-1}+...+a_nx+c$
这个斜率函数就是$y=a_1nx^{n-1}+a_2(n-1)x^{n-2}+...+a_n$

如果$y=\sqrt{x}$，导数是啥？
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
那么$k=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
很简单。

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最后加上一些特殊的：
1.$y=\sin{x}$,$k=\cos{x}$
2.$y=\cos{x}$,$k=-\sin{x}$
3.$y=log_ex=ln x$,$k=\frac{1}{x}$