BZOJ4162: shlw loves matrix II

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4162: shlw loves matrix II
如果我们已知矩阵$A$的特征多项式$p(x)$,其最高次数为$k$,由哈密尔顿－凯莱定理得知

$$p(A)=a_0A^n+a_1A^{n-1}+\dots+a_kA^{n-k}$$
显然 $a_0=1$,那么
$$A^n=a_1A^{n-1}+\dots+a_kA^{n-k}$$
我们就可以把一个高次项拆成若干次数较小的项,再拆拆拆拆成 $k-1$项,显然 $k$是 $O(n)$级别的,然后我们求出 $A^0$到 $A^{k-1}$就可方便地计算出答案.
考虑怎么计算特征多项式.
满足 $A=PBP^{-1}$的两个矩阵 $A,B$互为相似矩阵,它们的特征多项式相同,因此我们先把矩阵变换到如下形式(左下方是全为 $0$的三角),变换的时候记得左右乘两个互逆的初等矩阵:
$$\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ 0 & a_{3,2} & \cdots & a_{3,n} \\ 0 & 0 & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n,n} \end{bmatrix}$$
然后设 $B_i$为以 $A_{i,i}$为左上端点, $A_{n,n}$为右下端点的矩阵,设 $f_i$为 $B_i$的行列式,考虑对 $B$横着的第一行展开,我们可以得到:
$f_i=A_{i,i}f_{i+1}+(A_{i+1,i})A_{i,i+1}f_{i+2}+(A_{i+1.i}A_{i+2,i+1})A_{i,i+2}f_{i+3}+\dots$
然后就可以愉快地递推了.
设指数为 $T$,总时间复杂度为 $O(n^3+n^2logT)$