斯坦福大学公开课-傅里叶变换及其应用-学习记录2-傅里叶变换

本文是对斯坦福大学公开课-傅里叶变换及其应用的一些学习总结
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傅里叶变换的内容对应课程5-8节，讲义第二章。

由傅里叶级数到傅里叶变换

在前面介绍了利用傅里叶级数将一个周期函数表达为由一组正交的函数组线性表出的形式，那么对于那些非周期函数，是否也能将其以这样的形式表示呢？注意到，对于每个非周期函数，其实可以将其看做是周期趋于无限大的一个周期函数，由这一点出发，令$T->\infty$，写出对应的傅里叶级数：

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{2\pi int /T}$$ $$c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{-2\pi int/T}f(t)dt$$
似乎这样就完成了？来考虑一个具体的实例：

现在计算这个非周期函数的傅里叶系数： $$c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{-2\pi int/T}f(t)dt = \frac{1}{T} \int_{-1/2}^{1/2} e^{-2\pi int/T}dt$$
很显然，积分式是有界的，当 $T->\infty$时， $c_n->0$，这意味着傅里叶级数每一项的系数都趋近于0了，也就是说在这种情况下，傅里叶级数的每一项都消失了！
因此如果采用这样的 $c_n$用傅里叶级数是没办法表示这样的非周期函数的，那么现在的问题在于 $c_n->0$，可以考虑利用一些技巧让 $c_n$不趋近于0。
对于傅里叶级数，做如下处理： $$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}·Tc_ne^{2\pi int /T}=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}Tc_ne^{2\pi int /T}$$
考虑新的傅里叶系数： $$Tc_n = \frac{T}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{-2\pi int/T}f(t)dt = \int_{-T/2}^{T/2} e^{-2\pi int/T}f(t)dt$$
很显然这个新的傅里叶系数的值取决于积分式，当 $T->\infty$时，并不是一个趋近于0的式子。这就达到了目的。
原本的傅里叶系数的自变量是 $n$，现在把新的傅里叶系数的自变量设为 $n/T$，因此在 $T->\infty$时，将新的傅里叶系数表达为： $$c_{s} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi ins}f(t)dt$$ 更标准的写法为： $$\hat{f}(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi ins}f(t)dt$$ 其中 $s = \frac{n}{T}$
有了新的傅里叶系数，再来看此时的傅里叶级数： $$f(t) =\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n/T)e^{2\pi int /T}$$
此时，这个式子就是一个积分的定义式！
$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(s)e^{2\pi ist}ds$$

这里将傅里叶级数中先乘一个T再除以一个T实现了两项功能：1.让傅里叶系数不趋近于0 2.让傅里叶级数的求和式变成了一个积分式。因此这个操作是非常巧妙的。
这就得到了傅里叶变换及其逆变换，求解傅里叶系数$\hat{f}(s)$的过程叫做傅里叶变换，而由傅里叶系数得到原函数的过程（即最后的这个积分式）叫做傅里叶逆变换。
可以看到，傅里叶变换和傅里叶逆变换都是在傅里叶级数中$T->\infty$时，对其做一定的变形得到的，即傅里叶变换是傅里叶级数的极限形式。

下面做一个傅里叶变换和逆变换的小结：
傅里叶变换：对于一个信号$f(t)$，它的傅里叶变换为：

$$\hat{f}(s) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-2\pi ist}dt$$
这个函数的函数值是复数，当 $s=0$时有： $$\hat{f}(0) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt$$
$f(t)$大多数情况下都是实值函数，因此 $\hat{f}(0)$大多数情况下都是实数，但是 $\hat{f}$的其他函数值有可能为复数。
傅里叶变换将信号由时域变换到频域。
傅里叶逆变换：对于一个频域下的信号 $g(s)$，它的逆傅里叶变换为： $$\check{g}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{2\pi ist}g(s)ds$$
当 $t=0$时，有 $$\check{g}(0) = \int_{-\infty}^{\infty} g(s)ds = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(s)ds$$
注意到等式左侧一般都是实数，而等式右侧是对复数的积分，结果得到的是一个实数。
傅里叶变换将一个信号由频域变换到时域。
因此傅里叶变换和傅里叶逆变换实现了信号在时域和频域的切换。
还需注意帕塞瓦尔定理也不难由傅里叶级数推广到傅里叶变换中： $$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(s)|^2ds$$

实例：高斯函数的傅里叶变换

最简单的高斯函数形式为：$f(x) = e^{-x^2}$，这个函数的形状应该很熟悉了，它的积分为：

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{x}$$
高斯函数是没办法找到它的原函数的，因此这个积分不能按照常规的方法来计算。一般是利用二重积分来证明这个等式。

下面来求标准化的高斯函数的傅里叶变换：
已知高斯函数满足：

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi x^2}dx = 1$$ 求 $e^{-\pi x^2}$的傅里叶变换：
$$\hat{f}(s)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}e^{-\pi x^2}dx$$
两边对s求导得： $$\frac{d}{ds}\hat{f}(s) = -2\pi ix\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}e^{-\pi x^2}dx =i\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx} de^{-\pi x^2}$$
$$=i(e^{-\pi x^2}e^{-2\pi isx}|_{-\infty}^{\infty} + (2\pi is)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}e^{-\pi x^2} dx)=-2\pi s\hat{f}(s)$$
解这个常微分方程可得： $$\hat{f}(s) = \hat{f}(0)e^{-\pi s^2}$$
而 $$\hat{f}(0) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^2} =1$$ 因此 $$\hat{f}(s) = e^{-\pi s^2}$$

即高斯函数$e^{-\pi x^2}$的傅里叶变换是它本身。

傅里叶变换的性质

首先有两个很直观的性质，对一个时域下的信号先作傅里叶变换再作傅里叶逆变换，得到的应该就是原信号。同理对一个频域下的信号先作逆傅里叶变换再作傅里叶变换，得到的应该也是原信号。

对偶性：
对于一个信号$f(t)$，考虑$\hat{f}(-s)$和$\check{f}(-t)$具有什么性质：

$$\hat{f}(-s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i(-s) t}f(t)dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{2\pi sit}f(t)dt=\check{f}(s)$$ $$\check{f}(-t) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi is(-t)}f(s)ds = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(s)ds = \hat{f}(t)$$
这两个式子看上去十分错乱，s是频域中的自变量，它怎么可以被作为傅里叶逆变换的自变量呢？同样，t是时域中的自变量，它怎么可以被作为傅里叶变换的自变量呢？
对于这两个等式，比较好的处理方法应该是不要试图从理论层面来解释，而应该就把它们当作是两个数学上的等式，仅此而已，它所表达的就是一种数学上的等量关系，这就足够了。
由这两个等量关系，可以推导出：
$$\hat{\hat{f}(s)} = \hat{\check{f}(-s)} = f(-s)$$ $$\hat{\hat{f}(-s)} = \hat{\check{f}(s)} = f(s)$$
即对一个时域下的信号，先作傅里叶变换，再作傅里叶变换，得到的应该是原信号关于y轴对称的反转信号。

时延理论：考虑在时域下的信号在水平方向上平移，那么对应的频域下的信号会怎么变化？即$\hat{f}(t+b)$与$\hat{f}(t)$有什么关系？

$$\hat{f}(t+b) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t+b)dt$$ 设 $u=t+b$，则 $t = u-b$ $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t+b)dt = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(u-b)}f(u)du = e^{2\pi isb}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isu}f(u)du = e^{2\pi isb}\hat{f}(s)$$
注意到频域的振幅是没有发生改变的， $|e^{2\pi isb}| = 1$

伸缩理论：考虑在时域下的信号在水平方向上进行压缩或者拉伸，那么对应的频域下的信号会怎么变化？即$\hat{f}(at)$与$\hat{f}(t)$有什么关系？
当$a > 0$时：

$$\hat{f}(s) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(at)dt$$ 设 $u=at$，则 $t = u/a$， $dt = du/a$ $$\hat{f}(s) = \frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isu/a}f(u)du = \frac{1}{a}\hat{f}(\frac{s}{a})$$

当$a < 0$时：

$$\hat{f}(s) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(at)dt$$ 设 $u=at$，则 $t = u/a$， $dt = du/a$ $$\hat{f}(s) = \frac{1}{a}\int_{\infty}^{-\infty}e^{-2\pi isu/a}f(u)du = -\frac{1}{a}\hat{f}(\frac{s}{a})$$
因此：若 $f(t)$对应 $F(s)$，那么 $f(at)$就对应 $\frac{1}{|a|}F(\frac{s}{a})$。
由此不难看出，当信号在时域中进行压缩时，在频域中会进行拉伸并变矮；当信号在时域中进行拉伸时，在频域中会进行压缩并变高。