[arc082F]Sandglass

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传送门

Solution

这题是真的666啊。。。

以下是本题最关键最关键的结论：如果a_i<=a_j，则在某个时间t，前者的A中沙子克数（记为t(a_i)）一定大于等于t(a_j)。证明显然。

假设我们目前处理到到询问为(t,a)，设r_i为满足r_i<=t的最大值。我们要处理三个量：

1，时刻r_i，在不考虑限制（即不考虑沙子数只能为[0,X]范围，它可能比X大，也可能比0小）的情况下，相对于初始时的沙子数变化c。

2，时刻r_i，初始A中沙子为0情况下的沙子数down。

3，时刻r_i，初始沙子为X情况下的沙子数up。

经过分析，沙子数a加减的过程有4中情况（以下情况的沙子数都是指A中的）。

1：a没有被“沙子数只能为[0,X]范围”这个条件限制过。

2：a只被“沙子数必须<=X”条件限制过。

3：a只被“沙子数必须>=0”条件限制过。

4：a被“沙子数必须>=0”和“沙子数必须<=X”两个条件都限制过。

此处的"限制过"是指在计算到某一步的时候，沙子数量达到极限以至于不会再从上往下掉落。从数学的角度看（以条件沙子数必须>=0为例），即为：a-(r[k]-r[k-1])<0，但由于题目要求，a必须=0。

在最终判断答案的时候，询问(t,a)在时刻r_i沙子数的式子为max(down,min(up,a+c))。

证明：

情况1中，由于本题结论并且0<=a<=X，可得a+c<=up,a+c>=down，式子答案为a+c，又因为a没有被限制过，所以该答案正确。

情况2中，假设在时刻t0，a被限制，即t0(a)=X,又因为本题结论，t0(a)<=t0(X)，则t0(X)=X。在这一时刻t0(a)=t0(X)，正确答案即为up。由于a+c是不受限制(沙子数>=X)的结果，所以a+c>=up。即min(up,a+c)=up，up>=down，式子答案为up，正确。

情况3同理；

情况4由于t(a)=up=down，不论a+c与t(up)的大小关系如何都正确。

求出(r_i,a)后，记录一下接下来应该加还是减，直接操作便可得出(t,a)。

所以我们只需要把询问按时间排个序扫一遍就过啦。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int X,k,r[100010],Q;
struct node{int t,a,id;
}q[100010];int ans[100010];
bool cmp(node x,node y) {return x.t<y.t;}
int pls(int x,int y){return max(0,min(X,x+y));}
int main()
{
    scanf("%d%d",&X,&k);
    for (int i=1;i<=k;i++) scanf("%d",&r[i]);
    scanf("%d",&Q);
    for (int i=1;i<=Q;i++) 
    {
        scanf("%d%d",&q[i].t,&q[i].a);q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+Q+1,cmp);
    int topr=0,topq=1,sum=0,down=0,up=X,add=0,js=-1;
    int cnt;
    while (topq<=Q)
    {
        if (r[topr+1]<q[topq].t&&topr<k)
        {
            topr++;
            add=js*(r[topr]-r[topr-1]);
            down=pls(down,add);up=pls(up,add);
            sum+=add;js=-js;
        } else
        {
            cnt=q[topq].t-r[topr];
            ans[q[topq].id]=pls(max(down,min(up,q[topq].a+sum)),js*cnt);
            topq++;
        }
    }
    for (int i=1;i<=Q;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    
}