「luogu2257」 YY的GCD - 莫比乌斯反演

题目描述

给定 $N,M$,求 $1\le x\le N,1<=y<=M$ 且 $gcd(x, y)$ 为质数的 $(x, y)$ 有多少对

其中 $T \le 10^4,N\le 10^7,M\le 10^7 $

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luogu 2257

题解

算法1（暴力）

枚举 $x$, $y$, 判断 $gcd(x,y)$ 是否为质数
欧拉筛预处理出所有的质数

时间复杂度 $O(NMlogx)$
不是很优秀

算法2（莫比乌斯反演）

显然可以用莫比乌斯反演
\[ Ans=\sum_{p\in prime,p\le min(n,m)}\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}[gcd(x,y)=p] \]
用莫比乌斯反演的套路将原始化简为：
\[ Ans=\sum_{p\in prime,p\le min(n,m)}\sum_{x=1}^{\frac np}\sum_{y=1}^{\frac mp}[gcd(x,y)=1] \]
利用 $\mu$ 函数的性质展开：
\[ Ans=\sum_{p\in prime,p\le min(n,m)}\sum_{x=1}^{\frac np}\sum_{y=1}^{\frac mp}\sum_{d|gcd(x,y)}\mu(d) \]
继续化简：
\[ Ans=\sum_{p\in prime,p\le min(n,m)}\sum_{d=1}^{min(\frac np,\frac mp)}\mu(d)\cdot\frac n{dp}\cdot\frac m{dp} \]
似乎挺优美的，但是还没有结束：
$dp$ 感觉很不爽，于是我们枚举 $T$ 等于 $dp$
\[ Ans=\sum_{T=1}^{min(n,m)}\frac nT\cdot\frac mT\cdot\sum_{p\in prime,p\le min(n,m)}\mu(\frac Tp) \]
其中 $\sum\mu(\frac Tp)$ 可以预处理出来，数论分块一下就好了

时间复杂度 $O(n\sqrt n)$

然后就没有然后了

为了增加可读性，没有卡常

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef int INT;
#define int long long

const int MAXN=10000005;

int T;
int n,m,ans;
int p[MAXN],g[MAXN],mu[MAXN],sum[MAXN];

bool v[MAXN];

inline void sieve(){
    v[0]=v[1]=1,mu[1]=1;
    for (int i=2;i<MAXN;i++){
        if (!v[i]){
            p[++p[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<=p[0] && i*p[j]<MAXN;j++){
            v[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0){
                break;
            } else{
                mu[i*p[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
    for (int j=1;j<=p[0];j++)
        for (int i=1;i*p[j]<MAXN;i++)
            g[i*p[j]]+=mu[i];
    for (int i=1;i<MAXN;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+g[i];
}

INT main(){
    sieve();
    for (scanf("%lld",&T);T;T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&m); ans=0;
        if (m<n) n^=m^=n^=m;
        for (int l=1,r;l<=n;l=r+1){
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=(sum[r]-sum[l-1])*(n/l)*(m/l);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

后记

初学莫比乌斯反演，公式极可能有打错，有问题请告诉我，谢谢