堆排序是利用堆的性质对记录序列进行排序的一种排序方法。堆排序是选择类排序。
堆的定义
堆是满足下列性质的数列{K0，K1，K2，……，K（n-1）}：
- (1)小根堆：Ki <= K(2i+1)，且Ki <= K(2i+2)（0<=i<=n/2-1）；
- 或者(2)大根堆：Ki >= K(2i+1)，且Ki >= K(2i+2)（0<=i<=n/2-1）；
其中，Ki相当于二叉树的非叶子节点，K(2i+1)是左孩子节点，K(2i+2)是右孩子节点。
若将此数列看成是一颗完全二叉树，则堆是空数列或是满足下列特性的完全二叉树：
- 其左、右子树分别是堆；
- 当左、右子树不空时，根结点的值小于（或大于）左、右子树根结点的值。
堆（大根堆）排序基本思想及步骤
基本思想：
- 建堆：先将待排序序列文件R[0……n-1]构建成一个大根堆，此堆为初始的无序区；
- 交换：将堆顶记录（无序区的最大记录R[0]）和无序区的最后一个记录R[n-1]交换，无序区记录个数减去1，有序区记录个数加1，由此得到新的无序区R[0……n-2]和有序区R[n-1]；
- 调整：将当前无序区R[0……n-2]调整为大根堆；
- 重复交换操作：将堆顶记录和无序区最后一个记录交换，无序区记录个数减去1，有序区记录个数加1；
- 重复调整操作：将当前无序区调整为大根堆；
- ……
- 直到无序区只有一个元素为止。
假设待排序序列为{7， 3， 5， 1， 6}，要将其按升序排序，其堆排序具体过程如下：
步骤一：建初始堆。（升序使用大根堆，降序使用小根堆）
初始的无序序列逻辑及物理存储结构如下：
从最后一个非叶子结点开始，其下标为i = arr.length/2-1 = 1，即从arr[1]处开始，看其左、右孩子结点的值，找出左、右孩子结点中值最大的结点，记住其下标，然后与其父结点交换；然后，从左往右，从下向上，依次进行调整。直到将其调整成大根堆。
步骤二：交换。将堆顶记录和无序区最后一个记录交换。
圈出来的部分就是新的无序区，即需要下次调整为大根堆的部分。此时下标为4的arr[4]就是有序区。
步骤三：调整。将新的无序区调整为大根堆。
从最后一个非叶子结点（新的无序区的最后一个非叶子结点）开始，其下标为i = （arr.length-1）/2-1 = 1，即从arr[1]处开始，看其左、右孩子结点的值，找出左、右孩子结点中值最大的结点，记住其下标，然后与其父结点交换；然后，从左往右，从下向上，依次进行调整。直到将其调整成大根堆。
步骤四：然后重复交换、调整、交换、调整……操作，直到无序区只有一个记录。
圈出来的是新的无序区，是下一次需要调整的新的无序区。
最终的堆排序结果为下图:
此时，堆排序结束。
代码实现：
public class HeapSort {
/**
* 调整一个非叶子结点及它的左、右孩子这三个结点为一个大根堆
* @param arr
* @param i
* @param length
*/
private static void adjust(int[] arr, int i, int length) {
//先保存第一个非叶子结点记录
int temp = arr[i];
//从左孩子结点开始
for(int j = 2*i+1; j < length; j = 2*j+1) {
//有右孩子，且左孩子记录小于右孩子记录
if(j+1 < length && arr[j] < arr[j+1]) {
//用j来保存孩子结点中比较大的孩子结点的下标
j++;
}
//用孩子结点中比较大的孩子的记录和父结点记录做比较
if(temp < arr[j]) {
//父结点记录保存最大记录
arr[i] = arr[j];
//记录孩子结点的下标，要把父结点的记录赋值给该孩子记录
i = j;
} else {
break;
}
}
arr[i] = temp;
}
private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
/**
* 大根堆排序
* @param arr
*/
public static void heapSort(int[] arr) {
if(null == arr) {
return;
}
/**
* 构建大根堆
*/
for(int i = arr.length/2-1; i >= 0; i--) {
adjust(arr, i, arr.length);
}
/**
* 交换 + 调整
*/
for(int i = arr.length-1; i >= 0; i--) {
//先交换堆顶记录和无序区最后一个记录
swap(arr, 0, i);
//调整无序区为大根堆
adjust(arr, 0, i);
}
}
private static void showArr(int[] arr) {
for(int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {7, 3, 5, 1, 6};
/**
* 堆排序
*/
heapSort(arr);
showArr(arr);
}
}
运行结果：
效率：
时间复杂度：O（nlogn）；
空间复杂度：O（1）；
稳定性：不稳定排序。