三分钟理解辗转相除法

今天下午偶然看到辗转相除法, 以前不能够理解原理, 现在能够想明白了.

比如求gcd(1970, 1066)

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int gcd(int a,int b){
  printf("%d = %d * %d + %d\n",a,a/b,b,a%b);
  if(b==0) return a;
  else return gcd(b,a%b);
}
int main() {
    int a = 1211, b = 341;
    cout << gcd(a,b) << endl;
    return 0;
}

1211 = 3 * 341 + 188
341 = 1 * 188 + 153
188 = 1 * 153 + 35
153 = 4 * 35 + 13
35 = 2 * 13 + 9
13 = 1 * 9 + 4
9 = 2 * 4 + 1
4 = 4 * 1 + 0

所以最大公约数为1

我们是不是可以有这么一条逻辑链
1可以倍乘得到4
1和4可以得到9
1,4,9可以得到13
1,4,9,13可以得到35
……
直到1,4,9,13,35,153,188,341的各自的K(k>=0)次幂的和等于1211

我们知道任何一个数都可以用二进制数来表示, 比如7 = 2^0 * 1 + 2^1 * 1 + 2^2 * 1

我们姑且认为7是由集合{1,2,4,..}中的元素组成的

那么1211也可以用一个给定的集合{1,4,9,13,35,153,188,341}组成

而这个集合中最小的元素可以组成这个集合中所有的元素, 就像1可以得到1,2,4一样

所以求最小的公约数其实就是找到谁才应该是这个集合中最小的元素. 那么当第二小的元素除以某一个数x余数为0时, 那么很明显x就是集合中最小的那个元素了.