d森林问题
问题描述
设 T 是一棵带权树,树的每一条边带一个正权。又设 S 是 T 的顶点集,T/S 是从树 T 中 将 S 中顶点删去后得到的森林。如果 T/S 中所有树的从根到叶的路长都不超过 d ,则称 T/S 是一个 d 森林。
(1)设计一个算法求 T 的最小顶点集 S,使 T/S 是 d 森林。(提示:从叶向根移动)
(2)分析算法的正确性和计算复杂性。
(3)设 T 中有 n 个顶点,则算法的计算时间复杂性应为
。
对于给定的带权树,编程计算最小分离集 S。
数据输入:
第一行有 1 个正整数 n,表示给定的带权树有 n 个顶点,编号为 1,2,…,n。编号为 1 的顶点是树根。接下来的 n 行中,第 i+1 行描述与 i 个顶点 相关联的边的信息。每行的第一个正整数 k 表示与该顶点相关联的边数。其后 2k 个数中, 每 2 个数表示 1 条边。第一个数是与该顶点相关联的另一个顶点的编号,第二个数是边权值。 当 k=0 时表示相应的结点是叶结点。文件的最后一行是正整数 d,表示森林中所有树的从根 到叶的路长都不超过 d 。
Java
import java.util.Scanner;
public class DSenLin {
private static int n,p,len,d;
private static int[] deg,parent,parlen,leaf;
private static int[] dist;
private static int[] cut;
public static void main(String[] args){
Scanner input = new Scanner(System.in);
while (true){
n = input.nextInt();
deg = new int[n+1];
parent = new int[n+1];
leaf = new int[n+1];
parlen = new int[n+1];
cut = new int[n+1];
dist = new int[n+1];
for(int i=1; i<=n; i++){
deg[i] = input.nextInt();
for(int j=0; j<deg[i]; j++){
p = input.nextInt();
len = input.nextInt();
parent[p] = i;
parlen[p] = len;
}
if(deg[i] == 0)
leaf[++leaf[0]] = i;
}
d = input.nextInt();
int result = count();
System.out.println(result);
}
}
private static int count(){
int total = 0;
for(int i=1; i<=leaf[0]; i++)
if(leaf[i] != 1){//不是根结点
int plen = parlen[leaf[i]], par = parent[leaf[i]];
if(cut[par]<1 && dist[leaf[i]]+plen>d){//父结点(与之连接的上一级结点)未被删,且该结点当前最大路长(权值)加上到父结点距离(权值)大于d
total++;
cut[par] = 1;
par = parent[par];//指向该被减结点的父结点,以便父结点关联边数减去1
}else if(cut[par]<1 && dist[par]<dist[leaf[i]]+plen)//更新结点路长(权值)
dist[par] = dist[leaf[i]] + plen;
if(--deg[par] == 0)//更新结点关联边数
leaf[++leaf[0]] = par;//关联边数等于0时 添加叶结点
}
return total;
}
}
Input & Output
4
2 2 3 3 1
1 4 2
0
0
4
1
Reference
王晓东《计算机算法设计与分析》(第3版)P131