导弹拦截
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于50000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
输入输出格式
输入格式：一行，若干个整数（个数少于100000）
输出格式：2行，每行一个整数，第一个数字表示这套系统最多能拦截多少导弹，第二个数字表示如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
输入输出样例
说明
为了让大家更好地测试n方算法，本题开启spj，n方100分，nlogn200分
每点两问，按问给分
//我是数据加强以后的第一篇题解（这也是我关于单调性的第一篇题解）这篇有纪念性的文章我要发博客上，不要认为我是复制他人题解
/*数据加强到了100000，你要是想得满分200，就必须通过单调性来做（想得100的用n^2算法），而且还要一个神奇的思想（我无法证明），那就是，求一个序列里面最少有多少最长不上升序列等于求这个序列里最长上升序列的长度。我们用f[x]数组（第一问）来记录当前长度为x的不上升序列中最大的结束点（这个运用了贪心的思想），如果当前数小于等于当前的最长不上升序列的结束点，那么我们把当前最长的不上升序列长度加一，把当前数作为这个 不下降序列的结束点，不然我们就用二分查找（为什么可以呢？这是因为我们运用了贪心的思/想后能保证长度越大的不上升序列结束点越小），试着用当前数去更新长度为x的不上升序列的结束点（又是贪心的思想，只更新长度最长且结束点小于自己的），然后第二问你再反着做就行了（把大于等于改为小于）*/
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int a[maxn];
int f[maxn];
int main()
{
int n=0;
int l,r,mid;
while(scanf("%d",&a[++n])!=EOF)continue;
n--;
f[0]=1234123412;//这个数要大于50000，不然可能你就无法更新
int ans1=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(f[ans1]>=a[i]){
f[ans1+1]=a[i];//结束点为a[i]
ans1++; //当前最长不上升序列的长度加一
}
else {//二分查找
l=0;r=ans1;
while(l<r){
mid=(l+r)/2;
if(f[mid]>=a[i])l=mid+1;
else {
r=mid;
}
}
if(l!=0)f[l]=a[i];
}
}
cout<<ans1<<endl;//输出第一问的答案
memset(f,-1,sizeof(f));//这次前面要尽量小了，不然又无法更新
int ans2=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(f[ans2]<a[i]){
f[ans2+1]=a[i];//结束点为a[i]
ans2++; //当前最长上升序列长度加一
}
else {//二分查找
l=0;r=ans2;
while(l<r){
mid=(l+r)/2;
if(f[mid]>=a[i])r=mid;
else {
l=mid+1;
}
}
f[l]=a[i];
}
}
cout<<ans2<<endl;//输出第二个答案
}2-合唱队形
题目描述
N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK， 则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入输出格式
输入格式：输入文件chorus.in的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。
输出格式：输出文件chorus.out包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
输入输出样例
说明
对于50％的数据，保证有n<=20；
对于全部的数据，保证有n<=100。
发现大家的方法都一样，即：一遍递推算出最长上升子序列，再一遍递推算出最长下降子序列，再一遍历维护max求出答案。
我这里提供一个新的思路，建立二维数组a[105][2]。
a[i][0]代表以第i个人为结尾的最长上升子序列长度。（整个合唱队形没有下降）
a[i][1]代表以第i个人为结尾的最长合唱队形，但至少有一个人的身高呈下降趋势（合唱队形有下降）
显然，max(a[i][0],a[i][1])代表前i个人的最长合唱队形。
直接上代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a1[105][2];
int height[105];
int main(){
int n; cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>height[i];
for(int i=1;i<=n;i++){//递推求最长上升子序列
a1[i][0]=1;
for(int j=1;j<i;j++){
if(height[i]>height[j]) a1[i][0]=max(a1[i][0],a1[j][0]+1);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
a1[i][1]=1;
for(int j=1;j<i;j++)
if(height[i]<height[j]) a1[i][1]=max(a1[i][1],max( a1[j][0],a1[j][1] )+1);
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=max( ans, max( a1[i][0],a1[i][1]));
}
cout<<n-ans;
return 0;
}//一道动态规划题，分成生序列和降序列即可
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int num[1010];//每个人的身高
int ans=1;//最后留下的人数
int sum1[1010],sum2[1010];//升序列和降序列中留下的人数
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>num[i];//输入
sum1[i]=1;//留下的人数，至少为1
sum2[i]=1;}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if(num[i]>num[j])//如果i位置的值大于j位置的，这是可以作为上升子序列
sum1[i]=max(sum1[i],sum1[j]+1);//比较不取i位置和取i位置哪个留下的人多
for(int i=n;i>=1;i--)//最小降序列，反着枚举
for(int j=n;j>i;j--)
if(num[i]>num[j])
sum2[i]=max(sum2[i],sum2[j]+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=max(ans,(sum2[i]+sum1[i]-1));//ans是留下的人数，和每一种方案留下的人数比较。减一是中间的人重复计数。
cout<<n-ans<<endl;//n是总人数，ans留下的人数
return 0;
}