BZOJ球形空间产生器解题报告

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1013

1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

我们可以知道，一个球体上所有点到球心的距离相等，因此只需要求出一个点（x1,x2,x3,...,xn），使得：

Σⁿ_j=0(a_i,j-x_j)²=c

其中c是常数，该方程由n+1个n元二次方程构成，不是线性方程组。但我们可以通过相邻的两个方程作差，把它变成n个n元方程，同时消去常数c

于是我们可以得到下面这个阶梯矩阵

2(a_1.1-a_2.1) 2(a_1,2-a_2,2) ... 2(a_1,n-a_2,n) Σⁿ_j=1(a²₁_,j-a² ₂_,j)

2(a₂_.1-a₃_.1) 2(a₂_,2-a₃_,2) ... 2(a₂_,n-a₃_,n) Σⁿ_j=1(a² ₂_,j-a²₃_,j)

2(a_n_.1-a_n+1,₁) 2(a_n_,2-a_n+1_,2) ... 2(a_n_,n-a_n+1_,n) Σⁿ_j=1(a²_n_,j-a²_n+1_,j)

高斯消元即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=10+15;
int n;
double a[maxn][maxn],c[maxn][maxn],b[maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n+1;i++)
    for (int j=1;j<=n;j++)
    scanf("%lf",&a[i][j]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=n;j++)
    {
        c[i][j]=2*(a[i][j]-a[i+1][j]);
        b[i]+=a[i][j]*a[i][j]-a[i+1][j]*a[i+1][j];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=i;j<=n;j++)
        if (fabs(c[j][i])>1e-8){
            for (int k=1;k<=n;k++) swap(c[i][k],c[j][k]);
            swap(b[i],b[j]);
        }
        for (int j=1;j<=n;j++){
            if (i==j) continue;
            double rate=c[j][i]/c[i][i];
            for (int k=i;k<=n;k++) c[j][k]-=rate*c[i][k];
            b[j]-=rate*b[i]; 
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%.3f ",b[i]/c[i][i]);
    return 0;
}