【精讲】高等数学中函数极限：自变量趋于有限值时的极限
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专栏：高等数学
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导言
在高等数学中，函数极限是研究函数在某一点或在特定区间内的趋势和性质的重要概念之一。当自变量趋于某个有限值时，函数的极限描述了函数在该点附近的行为。理解自变量趋于有限值时函数的极限有助于我们分析函数的连续性、间断点以及导数的性质。本文将详细讲解函数极限中自变量趋于有限值时的概念、判定方法以及相关性质。
一、函数极限自变量趋于有限值的概念
当自变量x趋于某个有限值a时，函数f(x)的极限表示函数在自变量接近a时的趋势和性质。我们关注的是当x趋于a时，函数f(x)的极限值。
二、函数极限自变量趋于有限值的判定方法
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基本定义： 函数f(x)在自变量趋于有限值a时的极限为L，记为lim(x→a) f(x) = L，如果对于任意给定的ε（ε > 0），存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，|f(x) - L| < ε成立。
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极限的性质：
- 若lim(x→a) f(x) = L，则lim(x→a) (c * f(x)) = c * L，其中c是常数。
- 若lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，则lim(x→a) (f(x) + g(x)) = L1 + L2。
- 若lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，则lim(x→a) (f(x) * g(x)) = L1 * L2。
- 若lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2（其中L2 ≠ 0），则lim(x→a) (f(x) / g(x)) = L1 / L2。
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连续性： 如果一个函数在某个点a处的极限存在且与函数在该点的值相等（即lim(x→a) f(x) = f(a)），则该函数在点a处连续。
三、函数极限自变量趋于有限值的性质
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基本函数的极限：
- 常数函数的极限为其自身，即lim(x→a) c = c，其中c为常数。
- 恒等函数f(x) = x在x = a处的极限为lim(x→a) f(x) = a。
- 幂函数f(x) = x^n（其中n为正整数）在x = a处的极限为lim(x→a) f(x) = a^n。
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三角函数的极限：
- 正弦函数sin(x)在x = a处的极限为lim(x→a) sin(x) = sin(a)。
- 余弦函数cos(x)在x = a处的极限为lim(x→a) cos(x) = cos(a)。
- 正切函数tan(x)在x = a处的极限为lim(x→a) tan(x) = tan(a)（当a不是π/2 + kπ，其中k是整数）。
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复合函数的极限： 如果函数f(x)在x = a处的极限为L，且函数g(x)在L处连续，则复合函数(g ∘ f)(x)在x = a处的极限为lim(x→a) (g ∘ f)(x) = g(L)。
必需记忆知识点
例题（用于熟悉函数极限：自变量趋于有限值时的极限）
例题1
例题2
结论
函数极限是研究函数在某一点或特定区间内的趋势和性质的重要概念。当自变量趋于有限值a时，我们关注函数在该点附近的极限值。通过基本定义、极限的性质和连续性的概念，我们可以判定和计算自变量趋于有限值时函数的极限。理解函数极限自变量趋于有限值的概念和性质，有助于我们分析函数的连续性、间断点以及导数的性质。