数据结构复习 【7.3.1 树表的查找--二叉排序树】

引言

当表的插入和删除操作频繁时，为了维护表的有序性，我们需要移动表中的很多记录——可以改用动态查找表，使用几种特殊的树（二叉排序树、平衡二叉树、红黑树、B+、B-、键树等），使表结构在查找过程中动态生成。

一、二叉排序树（二叉搜索树、查找树）

1.定义

二叉排序树或是空树、或是满足如下性质的二叉树：
（1）若其左子树非空，则左子树上所有节点的值均小于根节点的值。
（2）若其右子树非空，则右子树上所有节点的值均大于等于根节点的值。
（3）其左右子树本身又是一棵二叉排序树。

2.性质

中序遍历非空的二叉排序树得到的数据元素序列，是一个按关键字排列的递增有序序列。

3.查找操作

查找的关键字等于根结点，查找成功
否则，（1）若小于根结点，查其左子树 （2）如大于根结点，查其右子树
之后在左右子树上的操作类似，查找失败返回空指针。

3.1.相关代码

3.1.1 二叉树排序树的存储结构

typedef struct{
    
    
	KeyType key;  //关键字项
	InfoType otherinfo;   //其他数据域
} ElemType;

typedef struct BSTNode{
    
    
	ElemType data;     //数据域
	struct BSTNode *lchild,*rchild; //左右孩子指针
}BSTNode,*BSTree;

BSTtree T;  //定义二叉排序树T

3.1.2 递归查找算法

【算法思想】
（1）若二叉树为空，查找失败，返回空指针
（2）若二叉树非空，将给定值key与根节点的关键字T->data.key进行比较：
      ① key 等于 T->data.key，查找成功，返回根节点地址
      ② key 小于 T->data.key，进一步查找左子树
      ② key 大于 T->data.key，进一步查找右子树

BSTree SearchBST（BSTree T，KeyType key）{
    
    
	if( (!T) || key ==  T->data.key） return T;
	else if(key < T->data.key)
		return SearchBST(T->lchild,key); //在左子树中继续查找
	else return SearchBST(T->rchild,key); //在右子树中继续查找
}

3.2.效率分析

含有n个节点的二叉排序树，其平均查找长度和树的形态有关。
（1）最好情况：完全二叉树，变成判定树，与折半查找相同，ASL= log2(N+1) -1，O(log2N)
（2）最坏情况：一开始就有序，变成右斜树，与顺序查找形同，ASL=(N+1)/2，O(n)

4.插入操作

若二叉排序树为空，则插入节点作为根节点插入到空树中
否则，继续在其左、右子树上查找
      ① 树中已有，不再插入
      ② 树中没有，查找并插入至某个结点的左孩子或右孩子处。

5.生成操作

（1）一个无序序列可以通过构造二叉排序树而变成一个有序序列，构造树的过程就是对无序序列进行排序的过程。
（2）插入的结点均为叶子结点，因此无须移动其他节点。相当于在有序序列上插入记录而无需移动其他记录。
（3）关键字的输入顺序不同，建立的二叉排序树不同。

6.删除操作

删除后要保证所得二叉树仍然满足二叉排序树的性质不变。
由于中序遍历二叉排序树可以得到一个递增有序的序列，那么删除一个结点相当于删除有序序列中的一个结点。

6.1 删除叶子结点

直接删除该结点，将双亲结点中对应指针域的值改为空即可。

6.2 删除含有左子树（或右子树）的结点

用其左子树（或右子树）替换自身结点即可。

6.3 删除含有左、右子树的结点

直接用中序遍历的前驱节点或后继节点来替换自身结点，其中：
（1）前驱节点：左子树中最大的节点。（即当前结点-> 左孩子 -> 右孩子 -> 右孩子 …）
（1）后继节点：右子树中最小的节点。（即当前结点-> 右孩子 -> 左孩子 -> 左孩子 …）