拓扑排序
对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。
执行步骤
对于有向无环图，构造拓扑序列的拓扑排序算法主要是循环执行以下两步，直到不存在入度为0的顶点为止。
(1) 选择一个入度为0的顶点并输出之；
(2) 从网中删除此顶点及所有出边。
循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则输出“有回路”信息，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。
例题
广度优先搜索
顺序地生成拓扑排序，是一种正向的思维。
我们使用一个队列来进行广度优先搜索。初始时，所有入度为 0 的节点都被放入队列中，它们就是可以作为拓扑排序最前面的节点，并且它们之间的相对顺序是无关紧要的。
在广度优先搜索的每一步中，我们取出队首的节点 u：
- 我们将u 放入答案中；
- 移除u 的所有出边，也就是将u 的所有相邻节点的入度减少1。如果某个相邻节点 v 的入度变为0，那么我们就将v 放入队列中。
在广度优先搜索的过程结束后。如果答案中包含了这n 个节点，那么我们就找到了一种拓扑排序，否则说明图中存在环，也就不存在拓扑排序了。
class Solution {
private:
vector<vector<int>> edges;
vector<int> indeg;
public:
bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
edges.resize(numCourses);
indeg.resize(numCourses);
//更新入度表和邻接表
for (const auto& info: prerequisites) {
edges[info[1]].push_back(info[0]);
++indeg[info[0]];
}
queue<int> q;
//入度为0的先入队列
for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
if (indeg[i] == 0) {
q.push(i);
}
}
int visited = 0;
while (!q.empty()) {
++visited;
int u = q.front();
q.pop();
for (int v: edges[u]) {
--indeg[v];
if (indeg[v] == 0) {
q.push(v);
}
}
}
return visited == numCourses;
}
};
深度优先搜索
深度优先搜索是一种逆向思维，将拓扑排序最后的元素最先入栈。
对于图中的任意一个节点，它在搜索的过程中有三种状态，即：
- 「未搜索」：我们还没有搜索到这个节点；
- 「搜索中」：我们搜索过这个节点，但还没有回溯到该节点，即该节点还没有入栈，还有相邻的节点没有搜索完成）；
- 「已完成」：我们搜索过并且回溯过这个节点，即该节点已经入栈，并且所有该节点的相邻节点都出现在栈的更底部的位置，满足拓扑排序的要求。
通过上述的三种状态，我们就可以给出使用深度优先搜索得到拓扑排序的算法流程，在每一轮的搜索搜索开始时，我们任取一个「未搜索」的节点开始进行深度优先搜索。
我们将当前搜索的节点 u 标记为「搜索中」，遍历该节点的每一个相邻节点 v：
- 如果v 为「未搜索」，那么我们开始搜索 v，待搜索完成回溯到 u；
- 如果v 为「搜索中」，那么我们就找到了图中的一个环，因此是不存在拓扑排序的；
- 如果v 为「已完成」，那么说明 v 已经在栈中了，而 u 还不在栈中，因此 u 无论何时入栈都不会影响到 (u,v) 之前的拓扑关系，以及不用进行任何操作。
当 u 的所有相邻节点都为「已完成」时，我们将 u 放入栈中，并将其标记为「已完成」。在整个深度优先搜索的过程结束后，如果我们没有找到图中的环，那么栈中存储这所有的 n 个节点，从栈顶到栈底的顺序即为一种拓扑排序。
class Solution {
private:
vector<vector<int>> edges;
vector<int> visited;
bool valid = true;
public:
void dfs(int u) {
visited[u] = 1;
for (int v: edges[u]) {
if (visited[v] == 0) {
dfs(v);
if (!valid) {
return;
}
}
else if (visited[v] == 1) {
valid = false;
return;
}
}
visited[u] = 2;
}
bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
edges.resize(numCourses);
visited.resize(numCourses);
for (const auto& info: prerequisites) {
edges[info[1]].push_back(info[0]);
}
for (int i = 0; i < numCourses && valid; ++i) {
if (!visited[i]) {
dfs(i);
}
}
return valid;
}
};