【密码学基础】RSA加密算法

1 RSA介绍

• RSA是一种非对称加密算法，即加密和解密时用到的密钥不同。
• 加密密钥是公钥，可以公开；解密密钥是私钥，必须保密保存。
• 基于一个简单的数论事实：两个大质数相乘很容易，但想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥，即公钥；而两个大质数组合成私钥。

2 密钥对的生成

step 1 生成N（公钥和私钥的一部分）

首先选取两个互为质数的数$p$和$q$（$p\ne q,gcd(p,q)=1$），于是：
$$N=p\ast q$$

step 2 生成L

根据欧拉函数，不大于$N$且与$N$互质的数是$p-1$和$q-1$两个数的最小公倍数：

$$L=[p-1,q-1]=(p-1)(q-1)$$

互质数$p$和$q$不能太小，如果他们足够大，那么根据目前的计算机技术和其他工具，至今也没能从$N$分解出$p$和$q$。也就是说，只要密钥长度$N$足够大（1024足够），基本上不可能从公钥信息推出私钥信息。

step 3 生成E（加密密钥）

满足如下两个条件：

$$1<E<L$$

$$gcd(E,L)=1$$

$gcd(E,L)=1$保证$E$和$L$最大公因数为1（互质），因此保证step 4生成解密密钥$D$时，一定存在$D$满足条件。

step 4 生成D（解密密钥）

满足如下两个条件：

$$1<D<L$$

$$(E\ast D)modL＝1$$

3 加密解密过程

另外，密钥对为：$(E,D,N)$。

4 计算示例

明文信息为$plaintext=85，E=7，p=11，q=13.$
生成密钥对
step 1: $$N=p\ast q=11\ast 13=143$$
step 2: $$L=(p-1)(q-1)=10\ast 12=120$$
step 3: $$(E\ast D)modL=1\Rightarrow (7\ast D)mod120=1\Rightarrow D=103$$

加密
$$cyphertext=plaintex{t}^{E}modN=85^{7}mod143=123$$

解密
$$plaintext=cyphertex{t}^{D}mod143=123^{103}mod143=85$$