图1 DDPM 无条件控制生成的图像。 这些不是真实的人、地方、动物或物体。
前言
扩散模型最近在图像生成领域取得了巨大的成功，类似 OpenAI 的 DALL-E 2，Google 的 Imagen，以及 Stability AI 最近发行的能够达到商业级绘画目的的 Stable Diffusion 等，都是基于扩散模型来进行图像生成的。本文对知乎上各位大佬对于扩散模型（特别是 DDPM）的讲解进行了融合，带领大家深入浅出理解扩散和逆扩散过程。
数学基础
- 先验概率和后验概率
-
先验概率：根据以往经验和分析得到的概率。它往往作为由因求果问题中的因出现，如 q ( X t ∣ X t − 1 ) q(X_{t}|X_{t-1}) q(Xt∣Xt−1)
-
后验概率：是指在得到结果的信息后重新修正的概率。是执果寻因问题中的因，如 p ( X t − 1 ∣ X t ) p(X_{t-1}|X_{t}) p(Xt−1∣Xt)
- KL 散度
对于两个单一变量的高斯分布的 p p p 和 q q q 而言，它们的 KL 散度为：
K L ( p , q ) = l o g σ 2 σ 1 + σ 1 2 + ( μ 1 − μ 2 ) 2 2 σ 2 2 − 1 2 KL(p, q)=log\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}+\frac{\sigma_{1}^{2}+(\mu_{1}-\mu_{2})^{2}}{2\sigma_{2}^{2}}-\frac{1}{2} KL(p,q)=logσ1σ2+2σ22σ12+(μ1−μ2)2−21
- 参数重整化
若希望从高斯分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^{2}) N(μ,σ2) 中采样，可以先从标准分布 N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N(0,1) 采样出 z z z，再得到 σ ∗ z + μ \sigma*z+\mu σ∗z+μ，这就是我们想要的采样结果。这样做的好处是将随机性转移到了 z z z 这个常量上，而 σ \sigma σ 和 μ \mu μ 则当作仿射变换网络的一部分。
模型介绍
- 模型总览
图2 DDPM 是经过训练以逐渐去除噪声数据的参数化马尔可夫链。我们估计生成过程的参数。
DDPM 主要分为两个过程：
- forward 加噪过程（从右往左）
- reverse 去噪过程（从左往右）
加噪过程是指向数据集中的真实图像逐步加入高斯噪声，而去噪过程是指对加了噪声的图片逐步去噪，从而还原出真实图像。加噪过程满足一定的数学规律，不需要学习，而去噪过程则采用神经网络模型来学习。这样一来，神经网络模型就可以从一堆杂乱无章的噪声图片中生成真实图片了。
- 扩散过程
- 逐步加噪
给定初始数据分布 x 0 ∼ q ( x ) x_{0} \sim q(x) x0∼q(x)，我们定义一个前向扩散过程（forward diffusion process）：我们向数据分布中逐步添加高斯噪声，加噪过程持续 T T T 次，产生一系列带噪声的图片 x 1 , . . . , x T x_{1},...,x_{T} x1,...,xT。在由 x t − 1 x_{t-1} xt−1 加噪至 x t x_{t} xt 的过程中，噪声的标准差/方差是以一个在区间 ( 0 , 1 ) (0, 1) (0,1) 内的固定值 β T \beta_{T} βT 来确定的，均值是以固定值 β T \beta_{T} βT 和当前时刻的图片数据 x t − 1 x_{t-1} xt−1 来确定的。以上描述的加噪过程可以写成公式：
q ( x 1 : T ∣ x 0 ) : = ∏ t = 1 T q ( x t ∣ x t − 1 ) , q ( x t ∣ x t − 1 ) : = N ( x t ; 1 − β t x t − 1 , β t I ) q(x_{1:T|x_{0}}):=\prod_{t=1}^{T}q(x_{t}|x_{t-1}), \quad q(x_{t}|x_{t-1}) := \mathcal N(x_{t};\sqrt{1-\beta_{t}}x_{t-1},\beta_{t}\mathbf{I}) q(x1:T∣x0):=t=1∏Tq(xt∣xt−1),q(xt∣xt−1):=N(xt;1−βtxt−1,βtI)
上式的意思是：由 x t − 1 x_{t-1} xt−1得到 x t x_{t} xt的过程，满足分布 N ( x t ; 1 − β t x t − 1 , β t I ) \mathcal N(x_{t};\sqrt{1-\beta_{t}}x_{t-1}, \beta_{t}\mathbf{I}) N(xt;1−βtxt−1,βtI)，因此噪声只由 β T \beta_{T} βT和 x t − 1 x_{t-1} xt−1来确定，是一个固定值而不是一个可学习的过程。因此，只要有了 x 0 x_{0} x0，并且提前确定每一步的固定值 β 1 , . . . , β T \beta_{1},...,\beta_{T} β1,...,βT，我们就可以推出任意一部的加噪数据 x 1 , . . . , x T x_{1},...,x_{T} x1,...,xT。值得注意的是，这里的加噪过程是一个马尔科夫链过程，即当前状态的概率只与上一时刻有关。
- 加噪结果
随着 t t t 的不断增大，最终原始数据 x 0 x_{0} x0 会逐步失去它的特征。最终当 T → ∞ T\rightarrow\infty T→∞时， x T x_{T} xT趋近于一个各向同性的高斯分布。从视觉上看，就是将原本一张完好的照片加噪很多步后，图片几乎变成了一张完全时噪声的图片。
- 任意时刻 x t x_{t} xt的计算
逐步加噪过程中，我们其实并不需要一步步地从 x 0 , x 1 , . . . x_{0},x_{1},... x0,x1,... 去迭代得到 x t x_{t} xt。事实上，我们可以直接从 x 0 x_{0} x0 和固定值序列 { β T ∈ ( 0 , 1 ) } t = 1 T \{ \beta_{T}∈(0, 1)\}_{t=1}^{T} { βT∈(0,1)}t=1T直接计算得到：
q ( x t ∣ x 0 ) = N ( x t ; α t ‾ x 0 , ( 1 − α t ‾ ) I ) q(x_{t}|x_{0}) = \mathcal N(x_{t};\sqrt{\overline{\alpha_{t}}}x_{0}, (1-\overline{\alpha_{t}})\mathbf{I}) \\ q(xt∣x0)=N(xt;αtx0,(1−αt)I)
上式中， α t = 1 − β t \alpha_{t}=1-\beta_{t} αt=1−βt， α t ‾ = ∏ i = 1 T α i \overline{\alpha_{t}}=\prod_{i=1}^T\alpha_{i} αt=∏i=1Tαi，中间推导过程不再罗列。
- 逆扩散过程
如果我们能够将上述过程转换方法，即从 q ( x t − 1 ∣ x t ) q(x_{t-1}|x_{t}) q(xt−1∣xt)中采样，那么我们就可以从一个随机的高斯分布 N ( 0 , I ) \mathcal N(0, \mathbf{I}) N(0,I)中重建出一个真实的原始样本，也就是从一个完全杂乱无章的噪声图片中得到一张真实图片。但是，由于需要从完整数据集中找到数据分布，我们没办法简单地预测 q ( x t − 1 ∣ x t ) q(x_{t-1}|x_{t}) q(xt−1∣xt)，因此需要学习一个模型 p θ p_{\theta} pθ来近似模拟这个条件概率，从而运行逆扩散过程。
p θ ( x 0 : T ) : = p ( x T ) ∏ t = 1 T p θ ( x t − 1 ∣ x t ) , p θ ( x t − 1 ∣ x t ) : = N ( x t − 1 ; μ θ ( x t , t ) , ∑ θ ( x t , t ) ) p_{\theta}(x_{0:T}):=p(x_{T})\prod_{t=1}^{T}p_{\theta}(x_{t-1}|x_{t}), \quad p_{\theta}(x_{t-1}|x_{t}):=\mathcal N(x_{t-1};\mu_{\theta(x_{t},t),\sum_{\theta}(x_{t},t)}) pθ(x0:T):=p(xT)t=1∏Tpθ(xt−1∣xt),pθ(xt−1∣xt):=N(xt−1;μθ(xt,t),∑θ(xt,t))
要点分析
正向的扩散过程：
- 扩散过程时逐步加噪的过程
- 扩散过程符合马尔科夫假设
- 每一步的噪声都是高斯噪声
- 加噪是用方差参数来控制的（预定义的超参数）
- 正向扩散过程属于无参模型（不需要进行学习）
- 该过程支持在任意步长采样（方便后续的训练）
逆向的扩散过程：
- 从高斯噪声中采样，学习一个模型估计真实的条件概率分布（从上一状态到下一状态的条件概率模型）
- 也可以直接计算任意状态的分布，因此可以直接采样，然后和真实图像计算均方误差
- 用一个 U-Net 结构来对 t t t 时刻的噪声进行预测
- 逆过程的均值需要模型预测（有参），但方差采用了常数项（无参，当然有工作将其改进成有参也同样 work）
伪代码
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