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贪心算法的概念
求解最优化问题的算法通常需要经过一系列的步骤，在每个步骤都面临多种选择。对于许多最优化问题，使用动态规划算法来求最优解有些杀鸡用牛刀了，可以使用更简单、更高效的算法。贪心算法（greedy algorithm)就是这样的算法，它在每一步都做出当时看起来最佳的选择。也就是说，它总是做出局部最优的选择，寄希望这样的选择能导致全局最优解。
贪心算法的设计思路
1.将最优化问题转化为这样的形式：对其做出一次选择后，只剩下一个子问题需要求解。
2.证明做出贪心选择后，原问题总是存在最优解，即贪心选择总是安全的。
3.证明做出贪心选择后，剩余的子问题满足性质：其最优解与贪心选择组合即可得到原问题的最优解，这样就得到了最优子结构。
我们如何证明一个贪心算法是否能求解一个最优化问题呢？并没有适合所有情况的方法，但贪心选择性质和最优子结构是两个关键要素。如果我们能够证明问题具有这些性质，就向贪心算法迈出了重要一步。
贪心选择性质
第一个关键要素是贪心选择性质（greedy-choice property)：我们可以通过做出局部最优（贪心）选择来构造全局最优解。换句话说，当进行选择时，我们直接做出在当前问题中看来最优的选择，而不必考虑子问题的解。
最优子结构
如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，则称此问题具有最优子结构性质。此性质是能否应用动态规划和贪心方法的关键要素。
贪心算法的经典问题
活动选择问题
我们的第一个例子是一个调度竞争共享资源的多个活动的问题，目标是选出一个最大的互相兼容的活动集合。
假定有一个n个活动的集合S={a1,a2,…，an}，这些活动使用同一个资源（例如一个阶梯教室），而这个资源在某个时刻只能供一个活动使用。每个活动ai，都有一个开始时间si和一个结束时间fi，其中0≤si<fi<∞。如果被选中，任务ai发生在半开时间区间[si,fi)期间。如果两个活动ai和aj满足[si,fi)和[sj,fj)不重叠，则称它们是兼容的。
在活动选择问题中，我们希望选出一个最大兼容活动集。假定活动已按结束时间的单调递增顺序排序：f1≤f2≤f3≤…≤fn-1≤fn。
分析：
最优子结构+贪心选择
令Ak是Sk的一个最大兼容活动子集，且aj是Ak中结束时间最早的活动，am是Sk中结束时间最早的活动。
若aj=am,则已经证明am在Sk的某个最大兼容活动子集中。
若aj!=am,令集合Ak'=( Ak-{aj} ) U{am}，即将Ak中的aj替换为am。因为Ak中的活动都是不相交的，则Ak'中的活动都是不相交的，aj是Ak中结束时间最早的活动，而fm≤fj。由于|Ak'|=|Ak|，因此得出结论：Ak'也是Sk的一个最大兼容活动子集，且它包含am。
上面其实是通过反证法证明了贪心选择的正确性。
实现：可以递归，可以迭代
最小生成树
经典算法：Prim、Kruskal
Kruskal的证明中，基于反证法，使用了“连通区域”这一概念。
分数背包
给定 n 种可以分割的物品，物品的重量为 w[i]，物品的价值为 c[i]。现挑选物品放入背包中，物品可以分割，假定背包能承受的最大重量为 V，问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
与01背包不同的是，分数背包具有贪心选择性质，因此每次选择单位重量的价值最高的物品，一直到背包装不下为止。