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贝塞尔曲线参考 : https://github.com/venshine/BezierMaker
一、贝塞尔曲线递归算法
一阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + 0 0 0 个控制点 = 2 2 2 个点 ) 是一条直线 , 贝塞尔曲线上的点就是直线上的点 ;
二阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + 1 1 1 个控制点 = 3 3 3 个点 ) 由 2 2 2 条 一阶贝塞尔曲线 确定 ,
三阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + 2 2 2 个控制点 = 4 4 4 个点 ) 由 2 2 2 条 二阶贝塞尔曲线 确定 ,
四阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + 3 3 3 个控制点 = 5 5 5 个点 ) 由 2 2 2 条 三阶贝塞尔曲线 确定 ,
⋮ \vdots ⋮
n n n阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + n − 1 n-1 n−1 个控制点 = n + 1 n + 1 n+1 个点 ) 由 2 2 2 条 n − 1 n-1 n−1 阶贝塞尔曲线 确定 ;
贝塞尔曲线递推公式如下 :
P i k = { P i , k = 0 ( 1 − t ) P i k − 1 + t P i + 1 k − 1 , k = 1 , 2 , ⋯ , n ; i = 0 , 1 , ⋯ , n − k P_i^k = \begin{cases} P_i , k = 0\\ (1-t)P_i^{k-1} + tP_{i + 1}^{k-1} , k = 1,2,\cdots,n ; i = 0,1,\cdots,n-k \end{cases} Pik={ Pi,k=0(1−t)Pik−1+tPi+1k−1,k=1,2,⋯,n;i=0,1,⋯,n−k
上述公式中 k + 1 k + 1 k+1 是贝塞尔曲线的阶数 , i i i 表示顶点序号 ;
根据上述 贝塞尔曲线递推公式 , 可以得到一个递归算法 , 算法核心公式如下 :
p ( i , j ) = ( 1 − u ) × p ( i − 1 , j ) + u × p ( i − 1 , j − 1 ) p(i, j) = (1-u) \times p (i - 1, j) + u \times p (i - 1 , j - 1) p(i,j)=(1−u)×p(i−1,j)+u×p(i−1,j−1)
上述递推公式中 , i i i 表示贝塞尔曲线的阶数 , j j j 表示贝塞尔曲线中的点个数 ( 包含起止点 + 控制点 ) , u u u 表示比例取值范围 0 0 0 ~ 1 1 1 ;
递归算法的递归终点是取到第 0 0 0 阶 ;
二、贝塞尔曲线递归算法实现
递归算法中最终的一阶贝塞尔曲线上的点计算公式如下 :
p ( i , j ) = ( 1 − u ) × p ( i − 1 , j ) + u × p ( i − 1 , j − 1 ) p(i, j) = (1-u) \times p (i - 1, j) + u \times p (i - 1 , j - 1) p(i,j)=(1−u)×p(i−1,j)+u×p(i−1,j−1)
根据上述计算公式 , 得到如下代码 :
(1 - u) * mControlPoints.get(j).x + u * mControlPoints.get(j + 1).x
完整的贝塞尔曲线上的点坐标算法如下 :
- BezierX 方法用于计算 贝塞尔曲线上的 X 轴坐标点 ;
- BezierY 方法用于计算 贝塞尔曲线上的 Y 轴坐标点 ;
// 贝塞尔曲线控制点集合
private ArrayList<PointF> mControlPoints = new ArrayList<>();
/**
* 贝塞尔曲线递归算法, 本方法计算 X 轴坐标值
* @param i 贝塞尔曲线阶数
* @param j 贝塞尔曲线控制点
* @param u 比例 / 时间 , 取值范围 0.0 ~ 1.0
* @return
*/
private float BezierX(int i, int j, float u) {
if (i == 1) {
// 递归退出条件 : 贝塞尔曲线阶数 降为一阶
// 一阶贝塞尔曲线点坐标 计算如下 :
return (1 - u) * mControlPoints.get(j).x + u * mControlPoints.get(j + 1).x;
}
return (1 - u) * BezierX(i - 1, j, u) + u * BezierX(i - 1, j + 1, u);
}
/**
* 贝塞尔曲线递归算法, 本方法计算 Y 轴坐标值
* @param i 贝塞尔曲线阶数
* @param j 贝塞尔曲线控制点
* @param u 比例 / 时间 , 取值范围 0.0 ~ 1.0
* @return
*/
private float BezierY(int i, int j, float u) {
if (i == 1) {
// 递归退出条件 : 贝塞尔曲线阶数 降为一阶
return (1 - u) * mControlPoints.get(j).y + u * mControlPoints.get(j + 1).y;
}
return (1 - u) * BezierY(i - 1, j, u) + u * BezierY(i - 1, j + 1, u);
}