【模板题】动态规划 逃亡的准备——多重背包问题及二进制优化

题目大意：n个物品，容量v，每个物品有m个，每个体积w，每个价值s   点击打开链接

二进制优化思想如下：（参考）

7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100（1,2,4）这三个数可以  组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数。

15 = 1111 可分解成 0001  0010  0100  1000（1,2,4,8）四个数字。如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110（1,2,4,6）前三个数字可以组合成7以内任意一个数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6小于13的数，（会有重复）

把堆物品按二进制数量分堆，每一堆要么取要么不取，则变成01背包问题。

优化代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
#define MAX 250000
using namespace std;
int w,m,s,dp[501]={0};
int weight[MAX],num[MAX],value[MAX];
//二进制处理
void sparse(int& count)
{
	int i;
	for (i=1;i<=m;i<<=1)//i左移一位
	{
		count++;
		num[count]=i;
		weight[count]=w*i;
		value[count]=s*i;
		m-=i;
	}
	if (m>0)
	{
		count++;
		num[count]=m;
		weight[count]=w*m;
		value[count]=s*m;
	}
}

int main()
{
	int n,v,i,j,ans=0,count=0;//count为二进制处理过后的物品个数
	cin>>n;cin>>v;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>m>>w>>s;
		sparse(count);
	}
	for (i=1;i<=count;i++)
		for (j=v;j>=weight[i];j--)
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
	cout<<dp[v];
	return 0;
}

常规解法，但会超时：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int w[2001],m[2001],s[2001],dp[501]={0};
int main()
{
	int n,v,i,j,k,ans=0;
	cin>>n;cin>>v;
	for (i=1;i<=n;i++)
		cin>>m[i]>>w[i]>>s[i];
	for (i=1;i<=n;i++)
		for (j=v;j>=0;j--)
			for (k=1;k<=m[i];k++)
				if (k*w[i]<=j)
					dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*w[i]]+k*s[i]);
	cout<<dp[v];
	return 0;
}