参考资料
1. 基本模型建立
我们作如下假设：
- 车辆所受的空气的力只会对车身坐标系x轴方向上的运动有影响，y轴方向和沿着z轴的旋转不会受到空气力的影响；
- 车辆运行在二维平面中，也就是z轴无速度。
- 车辆轮胎力运行在线性区间。
在运动学模型中，我们假设了单车模型中前后轮的速度矢量与轮子方向一致。当车辆速度很高时，单车模型中前后轮的速度矢量不再与轮子方向一致。此时运动学模型就不能准确地描述车辆的运动状态，这就需要使用动力学模型对车辆进行建模。
车辆单车模型中需要考虑两个维度的信息，这两个维度分别指代表车辆横向位置信息的 y y y和表示车辆偏航角信息的 ψ \psi ψ。他们可以大致分为两类： 纵向力(Longitudinal force) 和 横向力（Lateral force）, 纵向力就是使车辆前后移动的力量，而横向力则促使车辆在横向移动，在力的相互作用过程中，轮胎起着决定性的作用（根据一定的物理常识，轮胎是车辆运动的一个重要的力的来源）。
建立如下坐标系，X,Y表示全局坐标系，x,y则表示车身坐标系，x轴方向沿车辆中轴方向向前，y轴方向朝右，其车辆中心在质心位置。车辆的状态信息表示为 ( x , y , ψ , v ) (x,y,\psi,v) (x,y,ψ,v)，即 x , y x,y x,y方向上的位置，偏航角和速度。
平动
首先假设车辆为一个质点，对该质点进行受力分析，并根据牛顿第二定律得
m a y = F y f + F y r m a x = F x f + F x r − F a e r o (1) \tag{1} m a_{y}=F_{y f}+F_{y r}\\ ma_x=F_{xf}+F_{xr}-F_{aero} may=Fyf+Fyrmax=Fxf+Fxr−Faero(1)
其中，
-
a y a_{y} ay 为车辆重心处 y y y 轴方向的惯性加速度，满足 a y = d 2 y d t 2 a_y=\frac{d^2y}{dt^2} ay=dt2d2y
-
F y f F_{y f} Fyf 和 F y r F_{y r} Fyr 分别表示车前轮和后轮所受到的力在y轴方向上的分量。
-
F x f F_{x f} Fxf 和 F x r F_{x r} Fxr分别表示车前轮和后轮所受到的力在x轴方向上的分量。
-
F a e r o F_{aero} Faero表示车在x轴方向受到的空气阻力。
平动过程中，有两 种力共同作用产生加速度 a y a_{y} ay : 车辆延 y y y 轴产生的惯性加速度 y ¨ \ddot{y} y¨ 和车辆绕旋转中心 O O O 旋转产生的向心加速度 a c = v x 2 R = v x ψ ˙ ∘ a_{c}=\frac{
{v_x}^2}{R}=v_{x} \dot{\psi}_{\circ} ac=Rvx2=vxψ˙∘
a y = y ¨ + v x ψ ˙ (2) \tag{2} a_{y}=\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi} ay=y¨+vxψ˙(2)
将公式(2)带入公式(1)得
m ( y ¨ + v x ψ ˙ ) = F y f + F y r (3) \tag{3} m\left(\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi}\right)=F_{y f}+F_{y r} m(y¨+vxψ˙)=Fyf+Fyr(3)
同理，沿着x轴有
a x = v ˙ x − v y ψ ˙ m ( v ˙ x − v y ψ ˙ ) = F x f + F x r − F a e r o (3-2) \tag{3-2} a_x=\dot{v}_x-v_y\dot{\psi}\\ m(\dot{v}_x-v_y\dot{\psi})=F_{xf}+F_{xr}-F_{aero} ax=v˙x−vyψ˙m(v˙x−vyψ˙)=Fxf+Fxr−Faero(3-2)
其中，
v x ˙ = x ¨ v y ˙ = y ¨ \dot{v_x}=\ddot{x}\\ \dot{v_y}=\ddot{y} vx˙=x¨vy˙=y¨
转动
假设车辆为刚体，刚体绕重心转动，该运动过程使用力矩和转动惯量进行描述。 车辆绕Z轴旋转产生的力矩平衡，对应的偏航动力学方程为
I z ψ ¨ = l f F y f − l r F y r (4) \tag{4} I_{z} \ddot{\psi}=l_{f} F_{y f}-l_{r} F_{y r} Izψ¨=lfFyf−lrFyr(4)
其中， l f l_{f} lf 和 l r l_{r} lr 代表前后轮胎到重心的距离。
2. 横向（y方向）受力计算
车辆轮胎在y轴方向受到的力 F y f F_{yf} Fyf、 F y r F_{yr} Fyr实验结果表明，其大小正比于轮胎的侧滑角。其侧滑角如下图所示：
根据上图，前轮侧滑角为
α f = δ − θ v f (5) \tag{5} \alpha_{f}=\delta-\theta_{v f} αf=δ−θvf(5)
其中， θ v f \theta_{v f} θvf 代表速度矢量与车辆纵轴的夹角， δ \delta δ 代表前轮转向角。
同理，由于后轮转向角 δ \delta δ 为 0 ，故后轮侧滑角为
α r = − θ v r (6) \tag{6} \alpha_{r}=-\theta_{vr} αr=−θvr(6)
车辆前轮的横向力可以表示为
F y f = 2 C α f ( δ − θ v f ) (7) \tag{7} F_{y f}=2 C_{\alpha f}\left(\delta-\theta_{v f}\right) Fyf=2Cαf(δ−θvf)(7)
其中，比例常数 C α f C_{\alpha f} Cαf 代表每个前轮的转弯刚度(cornering stiffness)。
同理后轮的横向力可以写为
F y r = 2 C α r ( − θ v r ) (8) \tag{8} F_{y r}=2 C_{\alpha r}\left(-\theta_{v r}\right) Fyr=2Cαr(−θvr)(8)
其中，比例常数 C α r C_{\alpha r} Cαr 代表每个后轮的转弯刚度(cornering stiffness)。
3. 横向动力学模型推导
点 C 代表车辆的重心， A 点和 B点到重心的距离分别用 l f l_f lf和 l r l_r lr表示，轴距表示为 L = l f + l r L = l_f + l_r L=lf+lr。
车辆平动产生的速度分量 v x v_{x} vx 和 v y v_{y} vy ，以及绕点 C C C 转动产生的线速度 l f ψ ˙ l_{f} \dot{\psi} lfψ˙ 和 l r ψ ˙ l_{r} \dot{\psi} lrψ˙ (根据角速度与线速度的关系 ω = v R \omega=\frac{v}{R} ω=Rv得到)组成。根据上图得
tan ( θ v f ) = v y + l f ψ ˙ v x (9) \tag{9} \tan \left(\theta_{v f}\right)=\frac{v_{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}} tan(θvf)=vxvy+lfψ˙(9)
tan ( θ v r ) = v y − l r ψ ˙ v x (10) \tag{10} \tan \left(\theta_{v r}\right)=\frac{v_{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}} tan(θvr)=vxvy−lrψ˙(10)
由于通常情况下速度矢量的夹角很小，可以使用小角度近似原理
tan ( δ ) ≈ δ \tan \left(\delta\right) \approx \delta tan(δ)≈δ
得
θ v f = y ˙ + l f ψ ˙ v x (11) \tag{11} \theta_{v f}=\frac{\dot{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}} θvf=vxy˙+lfψ˙(11)
θ v r = y ˙ − l r ψ ˙ v x (12) \tag{12} \theta_{v r}=\frac{\dot{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}} θvr=vxy˙−lrψ˙(12)
将等式(7)、(8)、(11)和(12)代入等式(3)中得
m ( y ¨ + v x ψ ˙ ) = 2 C α f ( δ − y ˙ + l f ψ ˙ v x ) + 2 C α r ( − y ˙ − l r ψ ˙ v x ) (13) \tag{13} m\left(\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi}\right)=2 C_{\alpha f}\left(\delta-\frac{\dot{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)+2 C_{\alpha r}\left(-\frac{\dot{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}\right) m(y¨+vxψ˙)=2Cαf(δ−vxy˙+lfψ˙)+2Cαr(−vxy˙−lrψ˙)(13)
等式(13)左右两边同时除以 m m m ，分别提取 y ¨ 、 y ˙ 、 ψ ˙ \ddot{y} 、 \dot{y} 、 \dot{\psi} y¨、y˙、ψ˙ 和 δ \delta δ 项得
y ¨ = − 2 C α f + 2 C α r m v x y ˙ − ( v x + 2 C α f l f − 2 C α r l r m v x ) ψ ˙ + 2 C α f m δ (14) \tag{14} \ddot{y}=-\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m v_{x}} \dot{y}-\left(v_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m v_{x}}\right) \dot{\psi}+\frac{2 C_{\alpha f}}{m} \delta y¨=−mvx2Cαf+2Cαry˙−(vx+mvx2Cαflf−2Cαrlr)ψ˙+m2Cαfδ(14)
转化为矩阵形式如下
y ¨ = [ 0 − 2 C α f + 2 C α r m V x 0 − ( v x + 2 C α f l f − 2 C α r l r m v x ) ] [ y y ˙ ψ ψ ˙ ] + 2 C α f m δ (15) \tag{15} \ddot{y}=\left[\begin{array}{llll} 0 & -\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m V_{x}} & 0 & -\left(v_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m v_{x}}\right) \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right]+\frac{2 C_{\alpha f}}{m} \delta y¨=[0−mVx2Cαf+2Cαr0−(vx+mvx2Cαflf−2Cαrlr)]⎣⎢⎢⎡yy˙ψψ˙⎦⎥⎥⎤+m2Cαfδ(15)
同理，将等式(7)、(8)、(11)和(12)代入等式(4)中得
I z ψ ¨ = 2 l f C α f ( δ − y ˙ + l f ψ ˙ v x ) − 2 l r C α r ( − y ˙ − l r ψ ˙ v x ) (16) \tag{16} I_{z} \ddot{\psi}=2 l_{f} C_{\alpha f}\left(\delta-\frac{\dot{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)-2 l_{r} C_{\alpha r}\left(-\frac{\dot{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}\right) Izψ¨=2lfCαf(δ−vxy˙+lfψ˙)−2lrCαr(−vxy˙−lrψ˙)(16)
等式(16)左右两边同时除以 I z I_{z} Iz ，分别提取 y ˙ 、 ψ ¨ 、 ψ ˙ \dot{y} 、 \ddot{\psi} 、 \dot{\psi} y˙、ψ¨、ψ˙ 和 δ \delta δ 项得
ψ ¨ = − 2 l f C α f − 2 l r C α r I z v x y ˙ − 2 l f 2 C α f + 2 l r 2 C α r I z v x ψ ˙ + 2 l f C α f I z δ (17) \tag{17} \ddot{\psi}=-\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{y}-\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{\psi}+\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \delta ψ¨=−Izvx2lfCαf−2lrCαry˙−Izvx2lf2Cαf+2lr2Cαrψ˙+Iz2lfCαfδ(17)
等效的矩阵形式为
ψ ¨ = [ 0 − 2 l f C α f − 2 l r C α r I z v x 0 − 2 l f 2 C α f + 2 l r 2 C α r I z v x ] [ y y ˙ ψ ψ ˙ ] + 2 l f C α f I z δ (18) \tag{18} \ddot{\psi}=\left[\begin{array}{llll} 0 & -\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} & 0 & -\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right]+\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \delta ψ¨=[0−Izvx2lfCαf−2lrCαr0−Izvx2lf2Cαf+2lr2Cαr]⎣⎢⎢⎡yy˙ψψ˙⎦⎥⎥⎤+Iz2lfCαfδ(18)
根据等式(15)和(18)得
[ y ˙ y ¨ ψ ˙ ψ ¨ ] = [ 0 1 0 0 0 − 2 C α f + 2 C α r m V x 0 − ( V x + 2 C α f l f − 2 C α r l r m V x ) 0 0 0 1 0 − 2 l f C α f − 2 l r C α r I z V x 0 − 2 l f 2 C α f + 2 l r 2 C α r I z V x ] [ y y ˙ ψ ψ ˙ ] + [ 0 2 C α f m 0 2 l f C α f I z ] δ (19) \tag{19} \begin{aligned} \left[\begin{array}{c} \dot{y} \\ \ddot{y} \\ \dot{\psi} \\ \ddot{\psi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m V_{x}} & 0 & -\left(V_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m V_{x}}\right) \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} V_{x}} & 0 & -\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} V_{x}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right] \\ +\left[\begin{array}{c} 0\\ \frac{2 C_{\alpha f}}{m} \\ 0 \\ \frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \end{array}\right] \delta \end{aligned} ⎣⎢⎢⎡y˙y¨ψ˙ψ¨⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡00001−mVx2Cαf+2Cαr0−IzVx2lfCαf−2lrCαr00000−(Vx+mVx2Cαflf−2Cαrlr)1−IzVx2lf2Cαf+2lr2Cαr⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡yy˙ψψ˙⎦⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎡0m2Cαf0Iz2lfCαf⎦⎥⎥⎤δ(19)
注意：上述动力学方程的推导建立在车辆侧滑角很小的情况下，这时的轮胎作用力与侧滑角可以近似为线性关系。当侧滑角很大时，轮胎作用力与侧滑角就不再是线性关系。
补充——考虑路面坡度角
如果还额外考虑路面坡度角（road bank angles）的影响，则公式（1）应写为
m a y = F y f + F y r + F b a n k m a_{y}=F_{y f}+F_{y r}+F_{bank} may=Fyf+Fyr+Fbank
式中
F b a n k = m g sin ϕ F_{bank} = mg\sin{\phi} Fbank=mgsinϕ
ϕ \phi ϕ为路面坡度角，如下图所示
转动过程不受坡度角影响，即公式（4)不变。因此，其它按部就班推导即可。
4. 纵向（x方向）受力计算
车辆在 x \mathrm{x} x 轴方向的力 F x f 、 F x r F_{x f} 、 F_{x r} Fxf、Fxr 与轮胎的滑比 σ x \sigma_{x} σx 成正比。其定义为:
{ σ x = r e f f ω w − v x v x ——刹车时 σ x = r e f f ω w − v x r e f f ω w ——加速时 (20) \tag{20} \left\{\begin{array}{l} \sigma_{x}=\frac{r_{e f f} \omega_{w}-v_{x}}{v_{x}} \text { ——刹车时 } \\ \sigma_{x}=\frac{r_{e f f} \omega_{w}-v_{x}}{r_{e f f} \omega_{w}} \text { ——加速时 } \end{array}\right. {
σx=vxreffωw−vx ——刹车时 σx=reffωwreffωw−vx ——加速时 (20)
因此有:
F x f = 2 C σ f σ x f (21) \tag{21} F_{x f}=2 C_{\sigma f} \sigma_{x f} Fxf=2Cσfσxf(21)
F x r = 2 C σ r σ x r (22) \tag{22} F_{x r}=2 C_{\sigma r} \sigma_{x r} Fxr=2Cσrσxr(22)
其中 C σ r C_{\sigma r} Cσr 为纵向的轮胎刚性参数（tire stiffness parameters)。
对于空气阻力 :
F aero = 1 2 ρ C d A F ( v x + v wind ) 2 (23) \tag{23} F_{\text {aero }}=\frac{1}{2} \rho C_{d} A_{F}\left(v_{x}+v_{\text {wind }}\right)^{2} Faero =21ρCdAF(vx+vwind )2(23)
另外在全局坐标系下:
{ X ˙ = v x cos ( ψ ) − v y sin ( ψ ) Y ˙ = v x sin ( ψ ) + v y cos ( ψ ) (24) \tag{24} \left\{\begin{array}{l} \dot{X}=v_{x} \cos (\psi)-v_{y} \sin (\psi) \\ \dot{Y}=v_{x} \sin (\psi)+v_{y} \cos (\psi) \end{array}\right. {
X˙=vxcos(ψ)−vysin(ψ)Y˙=vxsin(ψ)+vycos(ψ)(24)
联立等式(3-2),(21),(22),(23)，得
v ˙ x = 2 C σ r σ x r + 2 C σ f σ x f − 1 2 ρ C d A F ( v x + v w i n d ) 2 m + v y ψ ˙ (25) \tag{25} \dot{v}_{x}=\frac{2 C_{\sigma r} \sigma_{x r}+2 C_{\sigma f} \sigma_{x f}-\frac{1}{2} \rho C_{d} A_{F}\left(v_{x}+v_{w i n d}\right)^{2}}{m}+v_{y} {\dot{\psi}} v˙x=m2Cσrσxr+2Cσfσxf−21ρCdAF(vx+vwind)2+vyψ˙(25)
5. 动力学模型总结
联立等式(14)，(17)，(24)，(25)得
{ X ˙ = v x cos ( ψ ) − v y sin ( ψ ) Y ˙ = v x sin ( ψ ) + v y cos ( ψ ) x ˙ = v x y ˙ = v y v ˙ x = 2 C σ r σ x r + 2 C σ f σ x f − 1 2 ρ C d A F ( v x + v w i n d ) 2 m + v y ψ ˙ v ˙ y = − 2 C α f + 2 C α r m v x y ˙ − ( v x + 2 C α f l f − 2 C α r l r m v x ) ψ ˙ + 2 C α f m δ ψ ¨ = − 2 l f C α f − 2 l r C α r I z v x y ˙ − 2 l f 2 C α f + 2 l r 2 C α r I z v x ψ ˙ + 2 l f C α f I z δ (26) \tag{26} \left\{\begin{array}{l} \dot{X}=v_{x} \cos (\psi)-v_{y} \sin (\psi) \\ \dot{Y}=v_{x} \sin (\psi)+v_{y} \cos (\psi)\\ \dot{x}=v_x\\ \dot{y}=v_y\\ \dot{v}_{x}=\frac{2 C_{\sigma r} \sigma_{x r}+2 C_{\sigma f} \sigma_{x f}-\frac{1}{2} \rho C_{d} A_{F}\left(v_{x}+v_{w i n d}\right)^{2}}{m}+v_{y} {\dot{\psi}}\\ \dot{v}_y=-\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m v_{x}} \dot{y}-\left(v_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m v_{x}}\right) \dot{\psi}+\frac{2 C_{\alpha f}}{m} \delta\\ \ddot{\psi}=-\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{y}-\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{\psi}+\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \delta \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧X˙=vxcos(ψ)−vysin(ψ)Y˙=vxsin(ψ)+vycos(ψ)x˙=vxy˙=vyv˙x=m2Cσrσxr+2Cσfσxf−21ρCdAF(vx+vwind)2+vyψ˙v˙y=−mvx2Cαf+2Cαry˙−(vx+mvx2Cαflf−2Cαrlr)ψ˙+m2Cαfδψ¨=−Izvx2lfCαf−2lrCαry˙−Izvx2lf2Cαf+2lr2Cαrψ˙+Iz2lfCαfδ(26)