目录
1. 二叉树的顺序存储
1.1 存储方式
使用数组保存二叉树结构，方式即将二叉树用 层序遍历 方式放入数组中。一般只适合表示完全二叉树，这种方式的主要用法就是堆的表示。因为非完全二叉树会有空间的浪费（所有非完全二叉树用链式存储）。
1.2 下标关系
已知双亲 (parent) 的下标，则：左孩子 (left) 下标 = 2 * parent + 1;右孩子 (right) 下标 = 2 * parent + 2;已知孩子（不区分左右） (child) 下标，则：双亲 (parent) 下标 = (child - 1) / 2;
2. 堆(heap)
2.1 概念
1. 堆逻辑上是一棵完全二叉树2. 堆物理上是保存在数组中3. 满足任意结点的值都大于其子树中结点的值，叫做大堆，或者大根堆，或者最大堆4. 反之，则是小堆，或者小根堆，或者最小堆5. 堆的基本作用是，快速找集合中的 最值
2.2 操作-（下沉&上浮）本例是最大堆
元素下沉：
/**
* 下沉操作
*/
public void siftDown(int k){
//还存在子树
while (leftChild(k) < data.size()){
int j = leftChild(k);
//判断是否存在右子树且大于左子树的值
if(j+1 < data.size() && data.get(j+1) > data.get(j)){
j=j+1;
}
//此时j为左右子树最大值
//和当前节点比较大小
if(data.get(j) <= data.get(k)){
break;
}else {
swap(k,j);
k=j;
}
}
}元素上浮：
/**
* 上浮操作
*/
// 上浮操作的终止条件: 已经走到根节点 || 当前节点值 <= 父节点值
// 循环的迭代条件 : 还存在父节点并且当前节点值 > 父节点值
private void siftUp(int k) {
while (k>0 && data.get(k)>data.get(parent(k))){
swap(k,parent(k));
k=parent(k);
}
}其中swap方法是交换操作：
//交换三连
private void swap(int i,int j) {
int temp = data.get(j);
data.set(j,data.get(i));
data.set(i,temp);
}堆化数组：
/**
* 将任意数组堆化
* @param arr
*/
public MaxHeap(int[] arr){
data = new ArrayList<>(arr.length);
// 1.先将arr的所有元素复制到data数组中
for(int i : arr){
data.add(i);
}
// 2.从最后一个非叶子结点开始进行siftDown
for (int i = parent(data.size()-1); i >=0 ; i--) {
siftDown(i);
}
}
图示：
以此数组为例：
// 调整前
int[] array = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };
// 调整后
int[] array = { 15,18,19,25,28,34,65,49,27,37 };
时间复杂度分析：
最坏的情况即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度即时间复杂度为 O(log(n))
2.3 建堆-完整代码（最大堆）
/**
* 基于整形最大堆实现
* 时根节点从0开始编号,若此时节点编号为k
* 左孩子为2k+1
* 右孩子为2k+2
* 父节点为（k-1）/2
*/
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.NoSuchElementException;
public class MaxHeap {
// 使用JDK的动态数组(ArrayList)来存储一个最大堆
List<Integer> data;
// 构造方法的this调用
public MaxHeap(){
this(10);
}
// 初始化的堆大小
public MaxHeap(int size){
data = new ArrayList<>(size);
}
/**
* 将任意数组堆化
* @param arr
*/
public MaxHeap(int[] arr){
data = new ArrayList<>(arr.length);
// 1.先将arr的所有元素复制到data数组中
for(int i : arr){
data.add(i);
}
// 2.从最后一个非叶子结点开始进行siftDown
for (int i = parent(data.size()-1); i >=0 ; i--) {
siftDown(i);
}
}
/**
* 向最大堆中增加值为Value的元素
* @param value
*/
public void add(int value){
//1.先直接加到堆的末尾
data.add(value);
//2.元素上浮操作
siftUp(data.size()-1);
}
/**
* 只找到堆顶元素值
* @return
*/
public int peekMax (){
if(isEmpty()){
throw new NoSuchElementException("heap is empty!connot peek");
}
return data.get(0);
}
/**
* 取出当前最大堆的最大值
*/
public int extractMax(){
// 取值一定注意判空
if(isEmpty()){
throw new NoSuchElementException("heap is empty!connot extract");
}
int max = data.get(0);
// 1.将数组末尾元素顶到堆顶
int lastValue =data.get(data.size()-1);
data.set(0,lastValue);
// 2.将数组末尾的元素删除
data.remove(data.size()-1);
// 3.进行元素的下沉操作
siftDown(0);
return max;
}
/**
* 下沉操作
*/
public void siftDown(int k){
//还存在子树
while (leftChild(k) < data.size()){
int j = leftChild(k);
//判断是否存在右子树且大于左子树的值
if(j+1 < data.size() && data.get(j+1) > data.get(j)){
j=j+1;
}
//此时j为左右子树最大值
//和当前节点比较大小
if(data.get(j) <= data.get(k)){
break;
}else {
swap(k,j);
k=j;
}
}
}
/**
* 上浮操作
*/
// 上浮操作的终止条件: 已经走到根节点 || 当前节点值 <= 父节点值
// 循环的迭代条件 : 还存在父节点并且当前节点值 > 父节点值
private void siftUp(int k) {
while (k>0 && data.get(k)>data.get(parent(k))){
swap(k,parent(k));
k=parent(k);
}
}
//交换三连
private void swap(int i,int j) {
int temp = data.get(j);
data.set(j,data.get(i));
data.set(i,temp);
}
//判读堆为空
public boolean isEmpty(){
return data.size() == 0;
}
//根据索引找父节点
public int parent(int k){
return (k-1)>>1;
}
//根据索引找左孩子
public int leftChild(int k){
return k<<2+1;
}
//根据索引找右孩子
public int rightChild(int k){
return k<<2+2;
}
@Override
public String toString() {
return data.toString();
}
}
ps:随机数操作
int[] data=new int[10000];
//随机数
ThreadLocalRandom random = ThreadLocalRandom.current();
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
data[i] = random.nextInt();
}3. 优先级队列
详见下节：《Java 堆 & 优先级队列（下）》