[ACNOI2021]《普林斯普的余威》

题目

题目背景
$\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$ 站在 $\mathsf{O}\mathsf{U}\mathsf{Y}\mathsf{E}$ 的面前，接受神的洗礼。汝必先弃置肉身，方可入众神之门。 话音刚落，$\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$ 感觉自己开始慢慢缩成一团，越缩越紧，最后以一个诡异而扭曲的姿势瘫倒在地。他的呼吸变得缓慢，目光变得柔和。这是一个凄美的结尾。

许多年后，考古学家发掘出了 $\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$ 的遗体化石。他们无不惊讶地发现，$\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$ 的每一根骨头都是弯曲的！这也是人类历史上第一个，被别人 卷死 的案例。

在同一地点，人们还发现了遗迹化石，上面赫然写着一句话：吾之魂需一肉身，正如植物需要泥土。吾之头脑好似玻璃，记忆好似光。

题目描述
给出一个树，求有多少个点对 $x,y(x<y)$ 满足：树上 $x,y$ 两点的唯一简单路径中，经过的所有点的编号都在 $[x,y]$ 内。

数据范围与提示
$n⩽2\times 10^6$ 。但是显然不是线性的。

思路

第一步，膜拜 $\mathsf{O}\mathsf{U}\mathsf{Y}\mathsf{E}$，轻易地做出了牺牲者 $\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$ 做不出的题。当众人努力扛起补题的重担时，$\mathsf{O}\mathsf{U}\mathsf{Y}\mathsf{E}$ 正哼着小曲，做着自己一眼就看得出来的 $\mathrm{N}\mathrm{O}\mathrm{I}$ 题目。卷爷 $\mathsf{O}\mathsf{U}\mathsf{Y}\mathsf{E}$ 是问题转化之神！

那么题目背景试图告诉我们什么呢？弃置原有的肉身 抛开原有的树形结构。原有的树形结构实在是一个可恶的误导信息：一旦想到点分治，或者一切跟树上路径有关的东西，你就必死无疑。

问题显然等价于，求有多少条路径满足路径上经过的点的编号 $\min ,\max$ 在端点处取得。有一个非常恐怖但是完全正确的想法是，不去求出路径。单纯考虑求出路径 $\min$ 。这比较类似于求出路径上边权的 $\min$ 值，可以用最小生成树；所以求点权的 $\min$ 其实也是类 克鲁斯卡尔重构树。

而最值在端点处，等价于删掉端点（删掉最值点）后路径不断开。放在重构树上去理解，就是一条路径的最值点不能在路径中间。而路径的最值点就是 $lca$，如果要 $lca$ 在路径的端点，其实就是 $x$ 是 $y$ 的祖先。竟然会转化出这么简洁的关系式，难以想象！

现在我们建出两棵重构树 $T_1,T_2$，问多少个点对 $(x,y)$ 满足 $T_1$ 中 $x$ 是 $y$ 的祖先，$T_2$ 中 $y$ 是 $x$ 的祖先。在 $T_2$ 上 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 即可取出所有 $T_2$ 上 $x$ 的祖先 $y$，需要快速求出 $T_1$ 中哪些 $y$ 可以在 $x$ 子树内。显然求出 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序后用芬威克树即可维护，$\mathcal{O}(n\log n)$ 且常数很小，代码实现极为简单。

代码

#include <cstdio> // XJX yyds!!!
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
    
    
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
void writeint(int x){
    
    
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar(char((x%10)^48));
}

const int MAXN = 6000006;
struct Edge{
    
    
	int to, nxt;
	Edge() = default;
	Edge(int _to,int _nxt):
		to(_to),nxt(_nxt){
    
     }
};
Edge e[MAXN<<1];
int head[MAXN], cntEdge;
void addEdge(int a,int b){
    
    
	e[cntEdge] = Edge(b,head[a]);
	head[a] = cntEdge ++;
}

namespace UFS{
    
    
	int fa[MAXN];
	void init(int n){
    
    
		rep(i,1,n) fa[i] = i;
	}
	int find(int a){
    
    
		return (fa[a] != a) ? (fa[a] = find(fa[a])) : a;
	}
	void merge(int a,int b){
    
    
		fa[find(a)] = find(b);
	}
}

int st[MAXN], ed[MAXN], dfsClock;
void scan(int x,const int &n){
    
    
	st[x-n] = ++ dfsClock;
	for(int i=head[x]; ~i; i=e[i].nxt)
		scan(e[i].to,n);
	ed[x-n] = dfsClock;
}

int c[MAXN]; llong ans;
void dfs(int x,const int &n){
    
    
	for(int i=ed[x-2*n]; i; i&=(i-1)) ans += c[i];
	for(int i=st[x-2*n]-1; i; i&=(i-1)) ans -= c[i];
	for(int i=st[x-2*n]; i<=n; i+=(i&-i)) ++ c[i];
	for(int i=head[x]; ~i; i=e[i].nxt) dfs(e[i].to,n);
	for(int i=st[x-2*n]; i<=n; i+=(i&-i)) -- c[i];
}

int main(){
    
    
	int n = readint();
	memset(head+1,-1,(3*n)<<2);
	readint(); // fa(1) = 0
	for(int i=2,f; i<=n; ++i){
    
    
		f = readint();
		addEdge(i,f), addEdge(f,i);
	}
	
	UFS::init(n);
	rep(i,1,n) for(int j=head[i]; ~j; j=e[j].nxt){
    
    
		int p = UFS::find(e[j].to);
		if(e[j].to < i && p != UFS::find(i))
			addEdge(i+n,p+n), UFS::merge(p,i);
	}
	
	UFS::init(n);
	drep(i,n,1) for(int j=head[i]; ~j; j=e[j].nxt){
    
    
		int p = UFS::find(e[j].to);
		if(e[j].to > i && p != UFS::find(i))
			addEdge(i+n*2,p+2*n), UFS::merge(p,i);
	}
	
	scan(n<<1,n), dfs(n<<1|1,n);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

后记

又过了很多年，人们才知道，$\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$ 只是 $\mathsf{O}\mathsf{U}\mathsf{Y}\mathsf{E}$ 转生的牺牲品。$\mathsf{O}\mathsf{U}\mathsf{Y}\mathsf{E}$ 究竟内卷多久了？没有人知道。从人类有文字记载的历史开始，$\mathsf{O}\mathsf{U}\mathsf{Y}\mathsf{E}$ 就一直在卷，并且将一直卷到今天，卷到明天，卷到人类文明不复存在。凭借转生之术，$\mathsf{O}\mathsf{U}\mathsf{Y}\mathsf{E}$ 必将永世长存！

为何转生需要牺牲品呢？因为：$\text{When you take another’s life, you take your own.}$