题目
题目描述
对于一个正整数序列 a 1 , a 2 , a 3 , … , a n a_1,a_2,a_3,\dots,a_n a1,a2,a3,…,an，定义
V L = ∑ i = 1 n − L + 1 ( gcd j = i j + L − 1 a j ) V_L=\sum_{i=1}^{n-L+1}\left(\gcd_{j=i}^{j+L-1}a_j\right) VL=i=1∑n−L+1(j=igcdj+L−1aj)
请求出 V 1 , V 2 , V 3 , … , V n V_1,V_2,V_3,\dots,V_n V1,V2,V3,…,Vn 。
数据范围与提示
n ⩽ 1 0 6 n\leqslant 10^6 n⩽106 且 1 ⩽ a i ⩽ 1 0 9 1\leqslant a_i\leqslant 10^9 1⩽ai⩽109 。
思路
最开始只会枚举因数 d d d，只能做到 O ( n A ) \mathcal O(n\sqrt{A}) O(nA)，太垃圾了……
事实上，有一个很神奇的性质：连续取 gcd \gcd gcd 时，最多变化 log A \log A logA 次。所以我们应该把问题放在序列上考虑！
可以想到一个非常简单的方法是，移动右端点，同时维护左端点的若干等值段。加入一个数时，暴力修改这 O ( log A ) \mathcal O(\log A) O(logA) 个等值段的值，合并同类项。对于 V V V 的贡献就用差分数组即可做到。又考虑到，一个等值段的值变化只有 O ( log A ) \mathcal O(\log A) O(logA) 次，一共只会加入 O ( n ) \mathcal O(n) O(n) 个等值段，所以目标只是略去无效的变化。
然而这也极其简单：如果一个等值段，其值不会变化，则说明新加入的数是当前值的倍数；左边的等值段的值，是当前值的因数，自然也不会变化。
所以复杂度 O ( n log A ) \mathcal O(n\log A) O(nlogA) 就做完了。竟然真的存在这样简单明快的做法，不可思议！