[PIgeON]小香猪的阴谋

题目

题目背景
非洲猪瘟爆发，村里仅剩的小香猪肉价疯涨不下！以前经常买肉的 $\mathsf{O}\mathsf{n}\mathsf{e}\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{D}\mathsf{a}\mathsf{r}\mathsf{k}$ 掏空了腰包，还是只能偶尔揩揩油……

题目描述
这只小香猪非常狡猾，它要利用自己的身姿，牟取最多的利润！

现在有 $2n$ 个人，都想来买肉。小香猪决定选出其中 $n$ 个人，但是他们付的钱会是平常肉价的 $\gcd {\lambda }_i$ 倍，其中 ${\lambda }_i$ 是第 $i$ 个人的男性化程度（因为小香猪喜欢当妹妹）。

那么小香猪可以做到的最大倍率是多少呢？

数据范围与提示
$n⩽10^5$ 但 $1⩽{\lambda }_i⩽10^9$ 。

思路

最关键的就是 $2n$ 中选出 $n$ 个。这有什么用呢？

最初以为是鸽笼原理：除去 $(n+1)$ 种特殊情况，总是存在两个相邻的人同时被选中。然而这并没有什么用处……

想了很久，灵机一动想起了 随机化。随机一个人 $\delta$，它在最优方案中存在的概率是 $\frac{1}{2}$，多随机几次，就可以保证找到一个最优方案中的人。于是只用考虑 $\delta$ 的因数是否能作为答案。

最暴力的方法是，对于 $d$，找找有多少个数是 $d$ 的倍数。而我们检测的所有 $d$ 都是 $\delta$ 的因数，所以先将其余的数与 $\delta$ 取 $\gcd$ 不会影响判断。那么取完 $\gcd$ 之后，得到的结果都是 $\delta$ 的因数，问题转化为，给出 $\delta$ 若干因数，求每个因数的所有倍数的个数之和。

如果将所有数质因数分解，将每个质因子视作一个维度，其指数是坐标；那么相当于求一个高维偏序，做后缀和即可。由于只有 $\log A$ 维，共 $\sqrt{A}$ 个因子，时间复杂度 $\mathcal{O}(\sqrt{A}\log A)$ 。

当然，我尝试了两种写法：将所有因数丢进 $\mathtt{m}\mathtt{a}\mathtt{p}$，然后 $2n$ 个 $\gcd$ 的结果就直接映射到一个高维坐标（用一个整数状压表示）；或者将 $2n$ 个 $\gcd$ 的结果拿去做质因数分解。按理说，前者应该是 $\mathcal{O}(n\log A+\sqrt{A}\log A)$ 的，而后者是 $\mathcal{O}(n\log A+\sqrt{A})$ 的（如果不考虑求后缀和的部分）。可实地测试中，前者更快！

原因大概是因为，因数个数其实比 $\sqrt{A}$ 小。我之前看这里面说大概是 $\mathcal{O}(\sqrt{A})$ 的，现在再看，发现它还带一个 $\frac{1}{10}$ 的系数……果然大 $\mathcal{O}$ 就是大 $\mathcal{O}$，从来都不像 $\Theta$ 那样可信……

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <random>
#include <map>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline llong readint(){
    
    
	llong a = 0; int c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
inline llong getGcd(llong a,llong b){
    
    
	for(; true; b%=a){
    
    
		if(b == 0) return a;
		if((a %= b) == 0) return b;
	}
	return 0; // what the heck
}

const int MAXN = 200005;
llong a[MAXN];

const int SQRTA = 1000000;
int primes[SQRTA+5], primes_size;
bool isPrime[SQRTA+5];
void sieve(int n = SQRTA){
    
    
	memset(isPrime+2,true,n-1);
	for(int i=2; i<=n; ++i){
    
    
		if(isPrime[i]) primes[++ primes_size] = i;
		for(int j=1; j<=primes_size&&primes[j]<=n/i; ++j)
			isPrime[i*primes[j]] = false;
	}
}

const int LOGA = 50;
int zs[LOGA], coe[LOGA], tot;
map<llong,int> haxi; ///< from divisor to index
void get_factor(llong x){
    
    
	tot = 0; coe[0] = 1, zs[0] = 0;
	static vector< pair<llong,int> > _tmp;
	haxi.clear(); _tmp.clear();
	haxi[1] = 0; // the only survivor
	for(int i=1; i<=primes_size&&primes[i]<=x/primes[i]; ++i){
    
    
		if(x%primes[i]) continue; // no such thing
		for(++tot,zs[tot]=0; !(x%primes[i]); )
			x /= primes[i], ++ zs[tot];
		coe[tot] = coe[tot-1]*(zs[tot-1]+1);
		for(auto it : haxi){
    
    
			llong v = it.first; int _id = it.second;
			for(int j=1; j<=zs[tot]; ++j){
    
    
				v *= primes[i], _id += coe[tot];
				_tmp.push_back(make_pair(v,_id));
			}
		}
		for(; !_tmp.empty(); _tmp.pop_back())
			haxi[_tmp.back().first] = _tmp.back().second;
	}
	if(x == 1) return ;
	zs[++ tot] = 1, coe[tot] = coe[tot-1]*(zs[tot-1]+1);
	for(auto it : haxi) // consider this big divisor
		_tmp.push_back(make_pair(it.first*x,it.second+coe[tot]));
	for(; !_tmp.empty(); _tmp.pop_back())
		haxi[_tmp.back().first] = _tmp.back().second;
}

int cnt[SQRTA<<1];
int main(){
    
    
	sieve(); // maybe optimization backwards ...
	mt19937 rnd; // rander
	rnd.seed((unsigned)1983);
	int n = int(readint());
	uniform_int_distribution<int> _sy(1,n<<1);
	rep(i,1,n<<1) a[i] = readint();
	llong ans = 1; // real answer
	for(int cs=20; cs; --cs){
    
    
		const int pivot = _sy(rnd);
		get_factor(a[pivot]);
		const int all = coe[tot+1] = coe[tot]*(zs[tot]+1);
		memset(cnt,0,all<<2); // clear
		rep(i,1,n<<1) ++ cnt[haxi[getGcd(a[i],a[pivot])]];
		rep(i,1,tot) drep(j,all-1,0)
			if((j%coe[i+1])/coe[i] != zs[i])
				cnt[j] += cnt[j+coe[i]];
		for(auto it=haxi.rbegin(); it!=haxi.rend(); ++it)
			if(cnt[it->second] >= n){
    
    
				ans = max(ans,it->first); break;
			}
	}
	printf("%lld\n",ans);	
	return 0;
}