[DarkBZOJ2957]楼房重建

题目

传送门 to DarkBZOJ

思路

问题翻译一下：求前缀 $\max$ 的变化次数。

首先看看我们怎么减小计算的次数：比如原本是单调递增，然后把中间某个值突然调大，然后又调小。显然调小的时候，涉及一个问题是，想要立刻把后面原有的序列接上去。怎么维护呢？

我们会发现，可能接上去的序列其实是：从此处将序列割裂后，后半部分的所有前缀 $\max$ 的位置。然而所有可能的割裂点都求出来，这是不现实的。那么我们考虑一下，如果割裂点不是被更改的元素，又怎么样呢？

如果被更改的元素在右半部分，那么左半部分不需要做任何调整，我们可以试图对右半部分 递归，重新得到前缀 $\max$ 的位置，然后求答案；如果被更改的元素在左半部分，那么右半部分得到的前缀 $\max$ 的取值点不会变，我们可以试图对左半部分 递归计算，然后右半部分同样直接求出可以接上去的序列。

可是我们很悲催地发现，前缀 $\max$ 的更改是非常多的……怎么办？有一个非常大胆的想法：当我们知道合并规则的时候，未必要显式合并，只需要 在提取信息时模拟合并过程。比如我们要求出右半部分可以接上去多少，相当于问右端点的前缀 $\max$ 的一段后缀（大于左半部分最大值）；而我们又知道，右半部分的前缀 $\max$ 是它的两个部分拼接起来得到的；所以当这个前缀只涉及右侧时，往右半部分递归；否则完全包含右侧，直接加上右侧的点数，然后往左半部分递归。

形式化地：建线段树，每个点维护右儿子的前缀 $\max$ 数量 $c_u$ 。定义函数 $f(x)$ 为前缀 $\max$ 中超过 $x$ 的值的数量，记 $v_l$ 为左儿子的区间最大值，那么 $v_l⩽x$ 时，$f(x)=f_{rson}(x)$ 。当 $v_l>x$ 时，$f(x)=f_{lson}(x)+c_u$ 。所以计算 $f(x)$ 的复杂度是 $\mathcal{O}(\log n)$ 的。

而 $c_u$ 也要用 $f(x)$ 求解，共 $\mathcal{O}(\log n)$ 个值，所以复杂度 $\mathcal{O}(n{\log }^{2}n)$ 。

那么这道题算不算一定要先想到线段树，再想到解法的题呢？感觉也不是吧。只是 $\text{motivation}$ 不太强烈啊……

代码

#include <cstdio> // XJX yyds!!!
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
    
    
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
void writeint(int x){
    
    
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar(char((x%10)^48));
}

const int MAXN = 100005;
int n;
namespace SgTree{
    
    
	int val[MAXN<<2]; double mx[MAXN<<2];
	# define _ROOT_ int o=1,int l=1,int r=n
	# define LSON o<<1,l,((l+r)>>1)
	# define RSON o<<1|1,((l+r)>>1)+1,r
	int _calc(const double &qv,_ROOT_){
    
    
		if(l == r) return bool(mx[o] > qv);
		if(mx[o<<1] <= qv) return _calc(qv,RSON);
		return _calc(qv,LSON)+val[o];
	}
	void modify(int qid,double qv,_ROOT_){
    
    
		if(l == r) return void(mx[o] = qv);
		if((qid<<1) <= l+r) modify(qid,qv,LSON);
		else modify(qid,qv,RSON);
		mx[o] = max(mx[o<<1],mx[o<<1|1]);
		val[o] = _calc(mx[o<<1],RSON);
	}
	inline int query(_ROOT_){
    
    
		return _calc(0,LSON)+val[o];
	}
}

int main(){
    
    
	n = readint();
	int m = readint();
	for(int x,y; m; --m){
    
    
		x = readint(), y = readint();
		SgTree::modify(x,double(y)/x);
		writeint(SgTree::query()), putchar('\n');
	}
	return 0;
}