[DarkBZOJ3895]取石子

题目

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思路

在正常情况下，需要进行 $(n-1)$ 次合并和 $\sum a$ 次取石子。那么这个数的奇偶性很可能就是答案。

仅剩的问题是，如果一堆石子是被取完的，那么合并次数就变少了。

简单思考一下就会发现，在 $a_i⩾2$ 时，不会出现这样的情况。将对手操作过的石子堆立刻与别的石子堆合并，就可以始终使得 $a_i⩾2$ 。

那么 $a_i=1$ 的石子堆（下文称为 “单石子”）该怎么处理呢？一般来说，可以考虑对称操作消除影响；然而本题中，合并操作是无法对称的！

我又考虑，去掉单石子（下文称为 “外面”）是先手必胜 $or$ 后手必胜时，有奇数 $or$ 偶数个单石子的情况。多数情况下 这是正确的；然而在本题中，这种分类方法太粗糙了！

不得已，只能手玩找规律。我手玩了单石子数目不超过 $6$ 的所有情况，仍然没有发现任何规律；但是我突然想到——利用程序打表！于是我就把表打了出来，发现单石子数目对结果的影响是有循环节 $6$ 的！

于是这题就做出来了。虽然没有任何道理。想有道理也可以，归纳法呗。

我的手玩过程附在文末。这个过程启示我，只有四种情况：外面为空；外面只有一堆 $a=2$ 的石子；外面是先手必胜；外面是先手必败。

于是把四个情况的胜负性都存下来，就可以打表了。本来应当存在一个问题是，外面是先手必胜，操作后得到先手必败；外面是先手必败，操作后得到先手必胜；这是一个循环调用。但是我的手玩过程告诉我：应当不存在此种情况。

代码

#include <cstdio> // Dangerous Dark Ghost!!!
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
    
    
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
void writeint(unsigned x){
    
    
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar(char((x%10)^48));
}

const int MAXN = 1005;
/// empty, only a = 2, win, lose
int e[MAXN], a2[MAXN], w[MAXN], l[MAXN];
int main(){
    
    
	e[0] = 0, a2[0] = 0, w[0] = 1, l[0] = 0;
	e[1] = a2[1] = w[1] = l[1] = 1;
	e[2] = 1; // just meld
	for(int i=2; i<=5; ++i){
    
    
		e[i+1] = !(a2[i-1] && e[i]);
		a2[i] = !(e[i+1] && a2[i-1] && w[i-1] && w[i-2]);
		w[i] = !(l[i-1] && w[i-1] && l[i-2]); // and l[i]
		l[i] = !(w[i] && w[i-1] && l[i-1] && w[i-2]);
		// printf("%d %d %d %d\n",e[i],a2[i],w[i],l[i]);
	}

	for(int T=readint(),ans; T; --T){
    
    
		int n = readint();
		int sum = -1, cnt = 0;
		for(int i=1,a; i<=n; ++i){
    
    
			a = readint();
			if(a == 1) ++ cnt;
			else sum += a+1;
		}
		if(cnt == n-1 && sum == 2) ans = a2[cnt%6];
		else if(cnt == n) ans = e[cnt%6];
		else if(sum&1) ans = w[cnt%6];
		else ans = l[cnt%6];
		puts(ans ? "YES" : "NO");
	}
	return 0;
}

同理 “外面” 是后手必胜，而 $a_i=1$ 的石子有奇数堆时，是先手必胜。

“外面” 是先手必胜呢？考虑 $a_i=1$ 的石子有奇数堆。可以用上面的对抗性策略，使得 $\text{first player}$ 拿走最后一个 $a_i=1$，然后 $\text{second player}$ 就赢了。

后记

查了一下，网上还有 $\mathcal{O}(n\sum a)$ 的递推方法：用 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 个单石子、外面需要进行 $j$ 次操作时的胜负性。但是我有点疑惑……为啥外面的石子不能变成单石子呢？为啥外面的石子一定要完全合并呢？我不太懂。

手玩过程

一个单石子

先手必胜。如果外面是先手必胜，你就把单石子合并过去，得到先手必败；如果外面先手必败，直接将单石子拿走。

将单石子合并到外面 $and$ 将其直接拿走，两种方案的胜负性不同。选择先手必败的即可。故 $\text{first player}$ 必胜。

两个单石子

1. 如果外面是空的，先手选择合并单石子，然后 $\text{first player}$ 必胜。
2. 外面是先手必胜，先手选择合并单石子，得到 零个单石子 の 后手必胜局面，则 $\text{first player}$ 必胜。
3. 外面是后手必胜（非空），则先手不能合并单石子、不能造出 一个单石子，只能在外面操作。如果外面满足 $a_i>2$，在外面操作后，变成 $(2)$ 中情况，$\text{second player}$ 赢了。
4. 如果外面存在 $a_i=2$，那么操作它试试！后手肯定会考虑将 $a_i^{\prime }=1$ 立即合并走。如果外面有至少两堆，那么合并走之后就会得到 $a_j^{\prime }⩾3$，则 $\text{second player}$ 赢了。
5. 如果外面仅有一堆 $a_i=2$，操作之后变为 三个单石子 の 外面为空，这是先手必败的。所以 $\text{first player}$ 必胜了！

总结：外面空则胜；外面仅 $a_i=2$ 则胜；否则与外面胜负情况相同。

三个单石子

1. 外面为空，合并会得到 一个单石子，拿走就变为 两个单石子 の 外面为空，所以 $\text{second player}$ 必胜。
2. 外面非空，类比 一个单石子，要么合并一个单石子到外面，要么直接拿走，构造出 两个单石子 の 外面非空。除去 $(3)$ 中的特例，都是 $\text{first player}$ 必胜。
3. 特例是，外面仅有一个 $a_i=2$，此时上述两种方案都行不通。若将 $a_i=2$ 拿走一颗，变为 四个单石子 の 外面为空，这还是先手必胜。若合并两个单石子，则变为 一个单石子，更不行。故此时 $\text{second player}$ 必胜了。

总结：外面空则败；外面仅 $a_i=2$ 则败；否则必胜。

四个单石子

1. 外面为空，则 $\text{first player}$ 胜。因为拿走一个就得到 三个单石子 の 外面为空。
2. 外面是先手必胜，则先手合并单石子，得到 两个单石子 の 外面后手必胜（非空，非仅 $a_i=2$ 这堆），所以 $\text{first player}$ 胜。
3. 外面是后手必胜（非空），则先手不能合并单石子、一般不敢造出 三个单石子，只能在外面操作。如果外面满足 $a_i>2$，显然 $\text{second player}$ 必胜。
4. 如果外面存在 $a_i=2$，类比 两个单石子，也没啥用。当外面仅有一个 $a_i=2$ 时，造出 三个单石子 $\text{first player}$ 就必胜了。

总结：外面空则胜；外面仅 $a_i=2$ 则胜；否则与外面胜负情况相同。

五个单石子

1. 外面为空，则 $\text{first player}$ 必胜了！因为合并后得到 三个单石子 の 外面仅 $a_i=2$ 。
2. 外面非空，很可能 $\text{first player}$ 必胜，原因跟 三个单石子 相同。特例见 $(3)$ 。
3. 特例是，外面仅有一个 $a_i=2$ 。变为 六个单石子 の 外面为空，则 $\text{first player}$ 胜。

总结：必胜。跟 一个单石子 一样霸气。

六个单石子

1. 外面为空，可以发现这是 $\text{second player}$ 必胜的。
2. 外面先手必胜，可以发现这是 $\text{first player}$ 必胜的。
3. 外面后手必胜（非空），一般情况下是 $\text{second player}$ 必胜。
4. 如果外面仅有一个 $a_i=2$，还是 $\text{second player}$ 必胜啊。

总结：外面空则败；否则与外面胜负情况相同。

七个单石子

1. 外面为空，变为 六个单石子 の 外面为空，故 $\text{first player}$ 必胜。
2. ……（作者已经讨论到断气了）