[CF98E]Help Shrek and Donkey

题目

传送门 to CF

题意概要
一场博弈。共 $(n+m+1)$ 张扑克牌，有 $n$ 张在玩家 $A$ 手里，有 $m$ 张在玩家 $B$ 手里，还有 $1$ 张扣在桌上。二人可以轮流进行以下操作：

• 「交流」：询问对方是否拥有某张牌。询问的牌可以是 $(n+m+1)$ 张中的任何一张¹。如果对方有拥有此牌，则展示并弃置之；否则，他将回答 “无”。
• 「猜测」：指明 $(n+m+1)$ 张牌中的一张。若此牌就是扣在桌上的牌，该玩家获胜；否则失败。也就是说，不「猜测」游戏就不会结束，一「猜测」游戏就立刻结束。

现在假设二人都采用最优策略，请问先手获胜的 概率² 是多少？

思路

这是一道好题。为什么是一道好题呢？因为它既在我学过的方面让我感到自己的弱小，又在我没学过的方面让我感到自己的无知。

要抓住博弈的两个重点：已知信息，和博弈策略。信息不对称的博弈，最是恼人。

我们首先关注已知信息。我就连这个都想不到，实在惭愧……信息怎样获得？当然是通过「交流」啊。那么又分两种情况了：

• $A$ 玩家「交流」了非手牌。如果恰好是 $B$ 的手牌，那么 $A$ 知道了这是 $B$ 的手牌；否则，$A$ 玩家下一轮一定会「猜测」，因为 $A$ 知道这就是答案！
• $A$ 玩家「交流」了他的手牌。$B$ 玩家如果不「猜测」，你也很可能不会去「猜测」，这会让 $B$ 玩家知道这是你的手牌！——否则你的行为应该同第一条。

第二条需要稍微思考一下才能发现。虽然我连稍微思考的能力也没有。但是发现之后，综上所述，信息其实就是一方知晓另一方的某张手牌。

接下来，考虑博弈策略。第一步就把我难倒了，令人汗颜——到底什么时候才会「猜测」呢？似乎玩到中途，赌一把，直接「猜测」也可以啊？事实上，根本不会这样。下面给出证明。

假设对方手中有 $y$ 张牌未知，你的手中有 $x$ 张牌是对手不知道的，这时候去「猜测」，正确率是 $\frac{1}{y+1}$，也就是胜率。如果先「交流」一次，然后立马「猜测」呢？此时对手还无法知道任何信息（他问啥都没用），但是你有 $\frac{1}{y+1}$ 的概率问到桌上的牌，使得自己下一轮「猜测」的胜率是 $1$；亦有 $\frac{y}{y+1}$ 的概率使得对手未知手牌减少，下一次「猜测」的胜率是 $\frac{1}{y}$ 。

那么对手会怎样利用这一轮呢？最可怕的操作就是「猜测」。当然，他只能选择以 $p$ 的概率进行「猜测」的（即，在所有这样的情形下，他有 $p$ 的占比的情况是「猜测」，因为他没有更多信息）。所以我的胜率应该是
$$(1-p)\left(\frac{1}{y+1}\cdot 1+\frac{y}{y+1}\cdot \frac{1}{y}\right)+p\cdot \frac{x}{x+1}$$

对手会调整 $p\in [0,1]$ 使我的胜率最小。而这是关于 $p$ 的一次式，最值肯定在端点处取得，所以我的胜率实际上是
$$\min \left(\frac{2}{y+1},\frac{x}{x+1}\right)$$
不妨设 $x,y⩾1$，那么 $\frac{x}{x+1}⩾\frac{1}{2}⩾\frac{1}{y+1}$ 。此时我们发现：新的胜率 $\min (\frac{2}{y+1},\frac{x}{x+1})$ 高于原策略的胜率 $\frac{1}{y+1}$ 。而 $xy=0$ 是什么意思呢？也就是有一方已经知道桌上的牌是什么了。所以我们得到结论：在某个玩家已经知道桌上的牌之前，不会有人「猜测」。

知道了这一点之后，我们终于可以考虑一下游戏的过程。现在，$A$ 玩家「交流」一张牌，$B$ 玩家其实只有两种决策：立刻「猜测」$A$ 问的手牌，或者继续正常游戏。为什么这样说呢？因为对于 $B$ 来说，所有未知的牌都是等价的，除了 $A$ 刚刚「猜测」的牌。所以，$B$ 可以选择对这张牌进行特殊考虑。

而 $A$ 玩家，前面说过了，有两种决策。根据 我私自加上去的 规则，只有这两种可能的决策。

所以我们可以列一个表格出来，表中的数据是 $A$ 的胜率。用 $f(n,m)$ 表示，下一个「交流」的人手中有 $n$ 张牌未曝光，而对方有 $m$ 张牌未知，此时先手的胜率。

$B$ \ $A$	手牌	非手牌
「猜测」此牌（非 $B$ 手牌）	$1$	$0$
不「猜测」此牌（为 $B$ 手牌）	$N/A$	$1-f(m-1,n)$
不「猜测」此牌（非 $B$ 手牌）	$1-f(m,n-1)$	$1$

由于问的是 “概率”，所以 $A$ 可以按照某种概率选择这两种方案。$B$ 的选择也同理。假设 $A$ 有 $p$ 的概率「交流」手牌，$B$ 有 $q$ 的概率「猜测」此牌（如果非 $B$ 手牌），那么 $A$ 在「交流」非手牌时，这张牌为 $B$ 的手牌的概率是不可调控的；此时 $A$ 的胜率应当为
$$\frac{1}{m+1}\left[q\cdot 0+(1-q)\cdot 1\right]+\frac{m}{m+1}\left[1-f(m-1,n)\right]$$
反正是关于 $q$ 的一次式，简记为 $(kq+c)$ 。那么 $A$ 的总胜率就是
$$p\left[q\cdot 1+(1-q)(1-f(m,n-1))\right]+(1-p)(kq+c)$$
简记为 $g(p,q)=(\alpha p+\phi )(\beta q+\gamma )+\epsilon$ 。此时 $A$ 玩家希望它最大，而 $B$ 玩家希望它最小。谁知道应该怎么选啊？这个题面真是让人无语……

此时回到概率的定义：多次游戏，频率的趋近值。那么，在多次游戏中，双方可以调整自己的策略！这显然不符合概率的定义了。而调整概率的结果就是，最终一定取到
$$\underset{q\in [0,1]}{\min }\left[\underset{p\in [0,1]}{\max }g(p,q)\right]$$
顺便聊一聊 纳什均衡 的事儿：从另一个角度来看，答案也等于 ${\max }_{p\in [0,1]}\left[{\min }_{q\in [0,1]}g(p,q)\right]$ 。但是这两者并不一定成立！只有在 鞍点³（$\text{saddle point}$）也就是纳什均衡点处，才能相等。原理我就完全不懂了……

所以这个函数存在鞍点吗？理论上来说，当 $\alpha p+\phi =\beta q+\gamma =0$ 时，肯定是鞍点。但是取得到吗？当然， p , q ∈ { 0 , 1 } p,q\in\{0,1\} p,q∈{ 0,1} 时也可能是鞍点。那么落入哪个鞍点呢？
$$\underset{q\in [0,1]}{\min }\left[\underset{p\in [0,1]}{\max }g(p,q)\right]=\underset{q\in [0,1]}{\min }[\max g(0,q),g(1,q)]$$
即，两个关于 $q$ 的函数，取 $\max$ 的值要最小。据称，两条直线的斜率是一正一负，所以直接求交点即可。方程为
$$(\alpha +\phi )(\beta q+\gamma )+\epsilon =\phi (\beta q+\gamma )+\epsilon$$
移项得 $\beta q+\gamma =0$ 。所以应该就是落入那个平凡鞍点了。感觉有道理，可是又让人觉得奇怪。

可以看到，上面的过程仍然有诸多漏洞；然而我也没有能力去弥补了。我只能走到这里。

代码

从代码中可以看出，解出来的 $p\in [0,1]$，符合要求。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
    
    
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}

const int MAXN = 1005;
double dp[MAXN][MAXN];
bool vis[MAXN][MAXN];
double solve(int n,int m){
    
    
	if(!n || !m) return 1.0/(m+1); // have to guess
	if(vis[n][m]) return dp[n][m];
	/// when q = 0, the function about p
	double c0 = 1-m*solve(m-1,n)/(m+1), k0 = 1-solve(m,n-1)-c0;
	/// when q = 1, the function about p
	double c1 = c0-1.0/(m+1), k1 = 1-c1;
	double p = (c0-c1)/(k1-k0); // intersection
	return vis[n][m] = true, dp[n][m] = k0*p+c0;
}

int main(){
    
    
	int n = readint(), m = readint();
	const double ans = solve(n,m);
	printf("%.12f %.12f\n",ans,1-ans);
	return 0;
}

---

1. 如果可以是任何一张，那么就可以「交流」已经被弃置的牌！这样游戏就不会终止了！所以规则应该加上一条：不得「交流」曾经被「交流」过的牌。但原题面中似乎并没有说。 ↩︎

2. 如何理解 “概率” 呢？相当于，如果二人玩很多次该游戏，扑克每次随机发放，那么先手赢的局数与总局数的比值趋近于多少？ ↩︎

3. 鞍点，直观来说就是，沿 $p$ 方向上它是 $\max$，沿 $q$ 方向上他是 $\min$ 。此时不难验证二者是相等的。 ↩︎