[CF1270H]Number of Components

题目

传送门 to CF

思路

首先注意到 $a_x<a_y(x<y)$ 时，$a_k(x<k<y)$ 要么与 $x$ 有边、要么与 $y$ 相连。所以连通块肯定是序列中连续的一段。

于是第一想法就是枚举分界点 $x$，要满足 ${\min }_{i⩽x}{a}_i>{\max }_{x<i}{a}_i$ 。然而这个东西要怎么动态维护呢？因为它 涉及整个序列，不太好搞；就算有一个楼房重建型的想法，也只能做到 $\mathcal{O}(n{\log }^{2}n)$，并且不是很好写……

思路一定要开阔！话是这么说，想不想的到又是另一回事了。感觉接下来的 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$ 不太强烈，我也不知道为什么会想到这样做……我觉得可能是因为，全序关系只用判断相邻元素。条件 ${\min }_{i⩽x}{a}_i>{\max }_{x<i}{a}_i$ 其实就是说相邻权值的点之间连边的话，只有一条边会跨过 $x+0.5$ 。

于是考虑相邻权值 $a_i,a_j(a_i<a_j)$ 之间带来的影响。若 $i<j$，则 $x\in (i,j)$ 都不会是合法分界点；若 $j<i$，则 $x\in [j,i)$ 的 “被跨过” 次数 $+1$ 。最后只需要数出 “被跨过” 次数 $=1$ 的位置即可。但是怎么计数呢？

又是老套路：欲求特定值的数量只能分块；但如果特定值是 $\min$ 或 $\max$，就有迹可循。考虑是否存在 “被跨过” 次数是 $0$ 的位置？有。$x=n$，或者 $x$ 左侧（含 $x$ 本身）的值都比右侧（不含 $x$ 自己）的值大。第二种情况就是所谓的 “不可能合法” 情况，这时候我们可以让 $x$ 的 “被跨过” 次数 $+2$，既确保它是不会被统计的，同时也避免了 $0$ 。而 $x=n$ 本来就不是合法分界点，忽略就行。所以我们就统计 $\min$ 即可，线段树可以维护了，复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$ 。

但是，还有可改进的地方。因为修改的是权值，而我们每次都要用相邻权值作考虑，有点麻烦；如果你发现这实际上是 二维偏序，你就会知道两个维度是等价的。具体来说，我们也可以考虑相邻的两个位置，方法与上面相同；这样就不用额外引入 $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}$ 来维护相邻权值对了。

还有另一种想法：上面的 “被跨过” 次数 $+2$ 的操作是正确的，只是略显繁琐；可以考虑令 $a_0=+\infty ,a_{n+1}=-\infty$ 。这样就没有 $x=n$ 的边界情况，也不可能左侧的值都比右侧的小了；而判断条件还是 “被跨过” 次数 $=1$ 。

代码

代码中当然既使用了 优化，又使用了 另一种想法。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
    
    
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}

const int MAXN = 1000005;
int leaf[MAXN];
namespace SgTree{
    
    
	struct Node{
    
    
		int val, cnt;
		Node() = default;
		Node(int _v,int _c):val(_v),cnt(_c){
    
    }
		Node operator & (const Node &t) const {
    
    
			if(t.val > val) return *this;
			if(t.val < val) return t;
			return Node(val,cnt+t.cnt);
		}
	};
	Node data[MAXN<<2]; int tag[MAXN<<2];
	# define _ROOT_ int o=1,int l=1,int r=1000001
	# define LSON o<<1,l,(l+r)>>1
	# define RSON o<<1|1,((l+r)>>1)+1,r
	inline void pushUp(int o){
    
    
		data[o] = (data[o<<1] & data[o<<1|1]);
		data[o].val += tag[o];
	}
	void modify(int ql,int qr,int qv,_ROOT_){
    
    
		if(qr < l || r < ql) return ; // not relevant
		if(ql <= l && r <= qr) tag[o] += qv, data[o].val += qv;
		else modify(ql,qr,qv,LSON), modify(ql,qr,qv,RSON), pushUp(o);
	}
	void reload(int qid,_ROOT_){
    
    
		if(l == r) return void(data[o].cnt = leaf[l]);
		if((qid<<1) <= l+r) reload(qid,LSON), pushUp(o);
		else reload(qid,RSON), pushUp(o);
	}
	int query(){
    
     return data[1].val == 1 ? data[1].cnt : 0; }
};

int a[MAXN];
int main(){
    
    
	int n = readint(), q = readint();
	a[0] = 1000001, a[n+1] = 0;
	rep(i,1,n){
    
    
		leaf[a[i] = readint()] = 1;
		SgTree::reload(a[i]);
	}
	rep(i,1,n+1) if(a[i-1] > a[i])
		SgTree::modify(a[i]+1,a[i-1],1);
	for(int x; q; --q){
    
    
		x = readint(); leaf[a[x]] = 0; SgTree::reload(a[x]);
		if(a[x-1] > a[x]) SgTree::modify(a[x]+1,a[x-1],-1);
		if(a[x] > a[x+1]) SgTree::modify(a[x+1]+1,a[x],-1);
		a[x] = readint(); leaf[a[x]] = 1; SgTree::reload(a[x]);
		if(a[x-1] > a[x]) SgTree::modify(a[x]+1,a[x-1],1);
		if(a[x] > a[x+1]) SgTree::modify(a[x+1]+1,a[x],1);
		printf("%d\n",SgTree::query());
	}
	return 0;
}