[CF1290F]Making Shapes

题目

传送门 to CF

思路

就在几个小时前，一名学生对着这道题抓耳挠腮，究竟是想不出来任何好点子，于是悲愤而去了。我也早觉得有写一点东西的必要了；这虽然于在座的诸位神犇毫不相干，但在我蒟蒻，却大抵只能如此而已。

由于题目中已规定了是个凸包，又直言平移相同，显然当每个向量的 “用量” 相同时，得到的图形就被判定为相同。于是我们实际上只是求解
$$\{\begin{array}{l}\sum c_i{x}_i=0\\ \sum c_i{y}_i=0\\ m⩾\sum c_i{x}_i[x_i>0]\\ m⩾\sum c_i{y}_i[y_i>0]\end{array}$$

最多 $n=5$ 个变元，用前两个等式换元，则只剩三个变元，有四个不等式约束，还有两个同余约束，问非负整数解的个数。这怎么可能实现？我能想到的最好的方法，就是首先枚举余数（由于 $|x|,|y|⩽4$，同余约束的模数较小，先枚举余数来满足之），然后枚举一个变元；剩下两个变元的约束条件相当于半平面交，求整数解就用类欧几里得。我要是打这个，我倒立恰饭。

然而做法究竟是什么呢？这想法也实在是神奇。它基于这样的想法：将比较大小拆分成较长的流程，每一步只需要存储比较少的信息，这样就可以 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 。必须知道全部才能做的事儿，咋 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 嘛！

比较大小怎样拆分呢？显然是按照 数位。所以肯定是数位 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 。我们可以采用二进制下数位，因为这是最优的（函数 $x{\log }_{x}n$ 似乎在 $x=2$ 处最小）。

接下来，考虑这 $5$ 个变元的取值么？那就又成为暴力了。所谓 $\mathtt{d}\mathtt{p}$ 者，根据关键信息进行分类，然后一起转移。那么显然我们要存下 $\sum c_i{x}_i,\sum c_i{y}_i$ 和那两个不等式是否已经成立。注意我们在做数位 $\mathtt{d}\mathtt{p}$，所以已经走过的数位，大多是可以忽略的部分；唯一要存储的往往是进位或退位。二者实际上都差不多；为了方便，我们从低位到高位处理，存储进位。

为了判断大小关系，我们还是要存储 $\sum c_i{x}_i[x_i>0]$ 的进位。而 $\sum c_i{x}_i$ 的 “进位” 有正有负，麻烦；干脆分别存储 $\sum c_i{x}_i[x_i>0]$ 和 $\sum c_i{x}_i[x_i⩽0]$，方便许多。对于 $y$ 也是同理。

接下来分析复杂度。由于向量必然需要有正有负，所以最多就是 $n-1=4$ 个 $+4$，提供 $8$ 的进位。多次累积可以达到 $V=16$ 。于是状态数是 $\log m\cdot V^4\cdot 2^2$，转移时枚举哪些 $c$ 的当前位是 $1$，需 $\mathcal{O}(2^n)$，总复杂度 $\mathcal{O}(V^4{2}^n\log m)=\mathcal{O}(n^4{x}^4{2}^n\log m)$ 。看看这美丽的式子，这样的复杂度到哪里去找啊！

精细地计算一下，只有 $2\times 10^8$ 级别的运算量。也不需要用 “跑不满” 之类的托辞去敷衍了，好耶。

代码

别忘了减掉平凡解 $c_i=0$，此时面积为零。

扫描二维码关注公众号，回复： 13661310 查看本文章

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cctype>
using namespace std;
# define rep(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); ++i)
# define drep(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); --i)
typedef long long llong;
inline int readint(){
    
    
	int a = 0, c = getchar(), f = 1;
	for(; !isdigit(c); c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; isdigit(c); c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}

const int MOD = 998244353;
inline void modAddUp(int &x,const int y){
    
    
	if((x += y) >= MOD) x -= MOD;
}

const int MAXN = 5;
int x[MAXN], y[MAXN];
int px[1<<MAXN], nx[1<<MAXN]; // positive and negative
int py[1<<MAXN], ny[1<<MAXN];
const int MAXV = 17, LOGM = 30;
int dp[LOGM+1][MAXV][MAXV][MAXV][MAXV][2][2];

# define for0(i,n) for(int i=0; i!=(n); ++i)
int main(){
    
    
	int n = readint(), m = readint();
	for0(i,n) x[i] = readint(), y[i] = readint();
	for0(S,1<<n) for0(i,n) if(S>>i&1){
    
    
		if(x[i] > 0) px[S] += x[i];
		else nx[S] -= x[i]; // absolute value
		if(y[i] > 0) py[S] += y[i];
		else ny[S] -= y[i]; // absolute value
	}
	*******dp = 1; // THIS FEELS SO GOOOOOOD
	for0(i,LOGM) for0(apx,MAXV) for0(anx,MAXV) for0(apy,MAXV)
	for0(any,MAXV) for0(opx,2) for0(opy,2) for0(S,1<<n){
    
    
		int bpx = apx+px[S], bnx = anx+nx[S];
		int bpy = apy+py[S], bny = any+ny[S];
		if(((bpx^bnx)|(bpy^bny))&1) continue; // p-n != 0
		int cx = bpx&1, mi = m>>i&1, cy = bpy&1;
		modAddUp(dp[i+1][bpx>>1][bnx>>1][bpy>>1][bny>>1]
			[(cx^mi) ? cx : opx][(cy^mi) ? cy : opy],
				dp[i][apx][anx][apy][any][opx][opy]);
	}
	printf("%d\n",((******dp[LOGM])+MOD-1)%MOD);
	return 0;
}