数据结构与算法

一、基本概念和术语

1.1 数据、数据结构

数据：是描述客观事物的符号，是计算机中可以操作的对象，是能被计算机识别，并输入给计算机处理的符号集合。比如整型等数值类型、字符、声音、视频、图像等。

数据结构：是互相之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

1.2 算法

算法：是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，且每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性：

输入输出：算法有零个输入或多个输入，至少有一个或多个输出

有穷性：执行有限的步骤后就会有结果，不会出现无限循环，每个步骤在可接受的时间内完成

确定性：算法的每一步都具有确定的含义，不会出现二义性

可行性：算法的每个步骤都是可行的，每一步都能得到正确的结果

算法的设计要求：

正确性：指算法至少应该具有输入输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求，能得到问题的正确答案

可读性：要便于阅读、理解和交流

健壮性：输入数据不合法时，也能做出相关处理，不产生异常或其他错误

时间/空间效率：时间效率高，存储空间低

二、时间复杂度（大O阶）

算法效率的度量有两种方式：一、事后统计：通过设计好的测试代码和数据，比较运行时间来确定算法效率的高低；二、事前估算：在写代码前，依据统计方法对算法进行估算。

第一种事后统计的方式有很多弊端，事后补救成本很高；所以一般会通过第二种事前估算的方式来统计算法的效率。

大O阶的时间复杂度就是事前分析统计。

2.1 时间复杂度

算法的时间复杂度，记作：T（n）= O（f(n)）表示随着问题规模n的增加，算法执行时间增长率。一般随着n的增加，T（n）增长最慢的算法为最优算法。

一般使用大O阶来表示算法的时间复杂度，常见的算法复杂度如下：

2.2 大O阶的推导方法

1、用常数1取代所有加法常数

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数得到的结果就是大O阶

2.2.1 常数阶

int sum = 0, n = 100;
sum = (n + 1) * n / 2;
System.out.println(sum);

这个算法的运行次数是f（n）= 3，依据上面的方法，用常数1取代所有加法常数3，然后没有高阶项，所以这个算法的时间复杂度就是常数阶O（1）。

2.2.2 线性阶

for (i = 0; i<n; i++) {
   // 时间复杂度为O（1）的程序步骤序列
}

循环体中需要执行n次，因此时间复杂度是O（n）。

2.2.3 对数阶

while (i < n) {
    i = i * 2;
    // 时间复杂度为O（1）的程序步骤序列
}

$2^x=n$ ，即 $x=\log_{2}n$ ，也就是要执行 $\log n$ 次，所以时间复杂度是O（ $\log n$ ）。

2.2.4 平方阶

for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = 0; j < n; j++) {
        // 时间复杂度为O（1）的程序步骤序列
    }
}

对于外部循环，是把内部时间复杂度为O（n）的代码，再执行 n 次。所以上面的时间复杂度是O（ $n^{2}$ ）。

2.3 最坏情况与平均情况

比如我们在n个随机数中查找某个数，最好的情况是我们查找的第一个数就是这个数，时间复杂度就是O（1），若最后一个才是要找的数，那时间复杂度就是O（n），这是最坏的情况。

一般没有特别说明的，都是指的最坏时间复杂度。