高等数学 第一章：函数极限与连续 第一节：函数 | 九七的高等数学

高等数学 第一章 函数极限连续：第一节： 函数

这一节讲的是和函数有关的概念、定义以及性质，通俗来说就是，讲了函数是什么，初等函数是什么，函数的单调性是什么等等。（这里再强调一下大家一定要搞明白概念、定义、性质以及定理的区别，如果没明白的可以回看《高等数学导学》，后面我就不会赘述了。）

一、函数的概念及常见函数

1.函数的概念

函数的概念：对于一个给定的数集，按照一定的对应法则，总有一个确定的数值与这个给定数集中的每一个数相对应。函数就是包含给定数集、对应法则、及与给定数集中的数值对应的数值所构成集合这三个要素的整体。
自变量：函数给定数集中的数值
因变量：自变量通过对应法则得到的数值
定义域：自变量的集合
值域：因变量的集合
对应法则：一个确定的映射方法或者关系。

例如：$y=f(x),x\in D,y\in R$
自变量：$x$
因变量：$y$
定义域：$D$
值域：$R$
对应法则：$f$，这个$f$可以是对$x$做平方，做与常数的加减等

符号函数：
$$f(x)=sgnx=\{\begin{array}{ll}-1& \text{x<0}\\ 0& \text{x=0}\\ 1& \text{x>0}\end{array}$$
例如：当$x=-1$时，$y=sgn(-1)=-1$

取整函数：$y=[x]$，即取$x$的整数部分，舍弃其小数部分

例如：当$x=1.2$时，$y=[1.2]=1$

2.复合函数

复合函数：假设有两个函数$f(x)$与$g(x)$，它们的定义域值域分别是$Df、Rf$与$Dg、Rg$，当$Df\cap Rg\ne \varnothing$，那么这两个函数可以复合，复合后的函数$f(g(x))$叫做$f(x)与g(x)$的复合函数。
(注意一下，大家在看复合函数和下面要讲的反函数的时候，其实应该从两个方面去看。第一，复合和反函数的反都只是对函数进行的操作。第二，一个函数经过复合后的函数叫做复合函数，复合函数本身是一个函数。就好比水果切成了块叫水果块，但它本身还是水果，只不过有了一些变化。复合就像切的操作，复合函数就相当于切完的水果)

3.反函数

反函数的定义：对于一个函数，如果对于它的因变量y，只有唯一的自变量x能够与这个y对应（也就是说，在函数的值域内随便找一个值即因变量，定义域内通过对应法则能够得到它的自变量x只能有一个。比如$y=x^2$这个函数，$x=1或者-1$都可以得到$y=1$，这个函数有两个因变量可以得到y=1，因此它就不存在反函数），那么这个函数就存在反函数。将原来函数的因变量看成自变量，自变量看成因变量，定义域和值域互换，得到的这个新的函数就是原来函数的反函数。公式的形式表示：原函数$y=f(x)$的反函数是$x=f^{-1}(y)$也可以写成$y=f^{-1}(x)$（这里的$x、y$只是一个标识，千万不要误以为$x$就是自变量，$y$就是因变量，自变量因变量是数值，跟用什么字母表示毫无关系）

有关反函数的定理：

定理1：单调函数一定有反函数，反之不成立。
推导：如果函数是单调函数，那么它整个定义域内的自变量和因变量都一一对应，因此，它一定有反函数。

定理2：把原函数本身作为自变量的反函数等于原函数的自变量即：$f^{-1}[f(x)]=x$
把反函数作为原函数的自变量的函数等于原函数的自变量即：$f[f^{-1)}(x)]=x$
（之所以用语言描述的这么复杂，是因为有的时候原函数的因变量x并不只是一个x，它也有可能是一个$x+1、x$平方的样子。怕大家看公式的时候会误解）
推导：$f^{-1}[f(x)]=f^{-1}(y)=x$，$f[f^{-1}(x)]=f(y)=x$（这里就是在定义里说过的，不要把$x、y$想当然的理解成就是因变量和自变量）

4.初等函数

基本初等函数的定义：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的统称叫做基本初等函数。通俗点说就是，幂函数是基本初等函数，指数函数是基本初等函数……（幂函数、指数函数等都是初高中就学过的非常简单，如果不知道的话可以度娘一下，不再赘述）

初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算或者经过有限次的函数复合（两种可以都有也可以只有其中一个）构成，并且只能由一个式子表示的函数叫做初等函数。（如果写成分段函数就不能叫初等函数）

二、函数的几个性质

说性质的时候，大家先明白一点，我们所说的性质，其实就是表述了函数这个东西的一些特点，然后用术语去描述这些特点。所谓的单调性、奇偶性等都只是一个专业术语，它们的本质就是函数的属性（自变量、因变量、值域、定义域）在变化的时候有些规律或者特点而已。函数如果有了我们讲的这些性质，那么我们就会特别的给它一个名字。比如，函数在整个定义域内具有单调性，我们就叫他单调函数。需要注意的是，如果我们说这个函数是单调函数，那么在它的整个定义域内这个函数都具有单调性。性质是可以局部的，比如我们说这个函数在某个区间有单调性，但仅仅只是在某个区间有单调性，你不能说这个函数是单调函数。若是要称这个函数是单调函数，那么在它的整个定义区间都得具有这个性质才行。（又啰嗦了一下，(⊙﹏⊙)，后面我真的不会再强调啦！）

1.单调性

单调性的定义：y=f(x)在区间I上有定义（这个区间既包含了定义域也包含了值域），对于区间I中的任意两个自变量$a、b，a<b（a>b）$的时候，有$f(a)<f(b)(f(a)>f(b))$，那么就称$y=f(x)$在区间I内单调递增（单调递减）。即这个函数有单调性。
单调函数的定义：在函数的整个定义域内具有单调性的函数叫做单调函数。即把上面定义中区间改成整个定义域。

2.奇偶性

奇偶性的定义：函数在定义域内恒有$f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x)$，则称这个函数在定义域上具有奇偶性。
奇偶函数的定义：函数的定义域关于原点对称，且对整个定域内任意的自变量，恒有$f(x)=f(-x)$， 则称$f(x)$为定义域上的偶函数；如果恒有$f(x)=-f(-x)$，则称$f(x)$为定义域上的奇函数。

3.周期性

周期性的定义：函数在一定区间内满足$f(x+T)=f(x)$，则函数在这个区间内有周期性。
周期函数的定义：整个定义域内的函数都由一段一段连续且相同的部分组成，这个函数就叫做周期函数。用数学语言描述：满足对函数整个定义域内任意$x$都有$f(x+T)=f(x)$的函数称为周期函数。

4.有界性

有界性的定义：函数在I区间内有最大或者最小值，就称这个函数在区间I内是有界的。即这个函数具有有界性。
有界函数的定义：在函数的整个定义域内，存在$M>0$，对任意的自变量$x$，恒有$|f(x)|<=M$，则称函数为有界函数。

提问部分：

（提问部分的设置，是为了检查和记忆，当你能够很清晰的回答以下问题，那么这一节就算是学明白了，当然，这也可以帮助你背诵和记忆。后面每一个章节都会设置提问部分，往后就不再赘述。）

1.函数是什么？
2.函数的几个要素是什么？
3.函数满足什么条件才能复合？
4.复合函数什么？
5.函数满足什么条件才能有反函数？
6.反函数是什么？
7.反函数的几个定理是什么？
8.基本初等函数是什么？
9.初等函数什么？
10.函数有哪些性质？如何用数学语言去判断？
11.与函数性质对应的，有哪些特殊的函数，如何证明它？

（篇幅较长，作者水平有限，错误在所难免，望海涵、指正）

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