奇异值分解（SVD）推导

PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是也一个重要的方法。在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing）。

1.正交矩阵（酉矩阵）

AA^T=E（E为单位矩阵，A^T表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A^TA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵， 若A为正交阵，则满足以下条件:

1) A ^T是正交矩阵

2)

（E为单位矩阵）

3) A的各行是单位向量且两两正交

4) A的各列是单位向量且两两正交

5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R

6) |A| = 1或-1

7)

正交矩阵通常用字母Q表示。

2. 特征值 ：
如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：

这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：

其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。首先，要明确的是，一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。比如说下面的一个矩阵：

 它其实对应的线性变换是下面的形式：

 因为这个矩阵M乘以一个向量(x,y)的结果是：

上面的矩阵是对称的，所以这个变换是一个对x，y轴的方向一个拉伸变换（每一个对角线上的元素将会对一个维度进行拉伸变换，当值>1时拉长，当值<1时缩短），当矩阵不是对称的时候，假如说矩阵是下面的样子：

它所描述的变换是下面的样子：

这其实是在平面上对一个轴进行的拉伸变换（如蓝色的箭头所示），在图中，蓝色的箭头是一个最主要的变化方向（变化方向可能有不止一个），如果我们想要描述好一个变换，那我们就描述好这个变换主要的变化方向就好了。反过头来看看之前特征值分解的式子，分解得到的Σ矩阵是一个对角阵，里面的特征值是由大到小排列的，这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向（从主要的变化到次要的变化排列）
当矩阵是高维的情况下，那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换，这个线性变化可能没法通过图片来表示，但是可以想象，这个变换也同样有很多的变换方向，我们通过特征值分解得到的前N个特征向量，那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。我们利用这前N个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。也就是之前说的：提取这个矩阵最重要的特征。总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么，可以将每一个特征向量理解为一个线性的子空间，我们可以利用这些线性的子空间干很多的事情。不过，特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵。

特征值分解——EVD

    在讨论SVD之前先讨论矩阵的特征值分解（EVD），在这里，选择一种特殊的矩阵——对称阵（酉空间中叫hermite矩阵即厄米阵）。对称阵有一个很优美的性质：它总能相似对角化，对称阵不同特征值对应的特征向量两两正交。一个矩阵能相似对角化即说明其特征子空间即为其列空间，若不能对角化则其特征子空间为列空间的子空间。现在假设存在mxm的满秩对称矩阵A，它有m个不同的特征值，设特征值为

                                                                                                   

对应的单位特征向量为

                                                                

则有

                                                                 

进而

                                                               

                                                  

                                                    

所以可得到A的特征值分解（由于对称阵特征向量两两正交，所以U为正交阵，正交阵的逆矩阵等于其转置）

                                                        

这里假设A有m个不同的特征值，实际上，只要A是对称阵其均有如上分解。

矩阵A分解了，相应的，其对应的映射也分解为三个映射。现在假设有x向量，用Ａ将其变换到Ａ的列空间中，那么首先由U'先对x做变换：

                                                                              

U是正交阵U'也是正交阵，所以U'对x的变换是正交变换，它将x用新的坐标系来表示，这个坐标系就是A的所有正交的特征向量构成的坐标系。比如将x用A的所有特征向量表示为：

                                         

则通过第一个变换就可以把x表示为[a1 a2 ... am]'：

                           

紧接着，在新的坐标系表示下，由中间那个对角矩阵对新的向量坐标换，其结果就是将向量往各个轴方向拉伸或压缩：

                              

从上图可以看到，如果A不是满秩的话，那么就是说对角阵的对角线上元素存在0，这时候就会导致维度退化，这样就会使映射后的向量落入m维空间的子空间中。

最后一个变换就是U对拉伸或压缩后的向量做变换，由于U和U'是互为逆矩阵，所以U变换是U'变换的逆变换。

3. 奇异值：
下面重点谈谈奇异值分解。特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但是它只是对方阵而言的，在现实的世界中，我们看到的大部分矩阵都不是方阵，比如说有N个学生，每个学生有M科成绩，这样形成的一个N * M的矩阵就不可能是方阵，我们怎样才能描述这样普通的矩阵呢的重要特征呢？奇异值分解可以用来干这个事情，奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法：

 假设A是一个N * M的矩阵，那么得到的U是一个N * N的方阵（里面的向量是正交的，U里面的向量称为左奇异向量），Σ是一个N * M的矩阵（除了对角线的元素都是0，对角线上的元素称为奇异值），V’(V的转置)是一个N * N的矩阵，里面的向量也是正交的，V里面的向量称为右奇异向量），如下图所示：

那么奇异值和特征值是怎么对应起来的呢？首先，我们将一个矩阵A的转置 * A，将会得到一个方阵，我们用这个方阵求特征值可以得到：

这里得到的v，就是我们上面的右奇异向量。此外我们还可以得到：

这里的σ就是上面说的奇异值，u就是上面说的左奇异向量。奇异值σ跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且σ的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵，这里定义一下部分奇异值分解：

 r是一个远小于m、n的数，这样矩阵的乘法看起来像是下面的样子：

 右边的三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于A的矩阵，在这儿，r越接近于n，则相乘的结果越接近于A。而这三个矩阵的面积之和（在存储观点来说，矩阵面积越小，存储量就越小）要远远小于原始的矩阵A，我们如果想要压缩空间来表示原矩阵A，我们存下这里的三个矩阵：U、Σ、V就好了。

奇异值分解——SVD

   上面的特征值分解的A矩阵是对称阵，根据EVD可以找到一个（超）矩形使得变换后还是（超）矩形，也即A可以将一组正交基映射到另一组正交基！那么现在来分析：对任意M*N的矩阵，能否找到一组正交基使得经过它变换后还是正交基？答案是肯定的，它就是SVD分解的精髓所在。

   现在假设存在M*N矩阵A，事实上，A矩阵将n维空间中的向量映射到k（k<=m）维空间中，k=Rank(A)。现在的目标就是：在n维空间中找一组正交基，使得经过A变换后还是正交的。假设已经找到这样一组正交基：

                                                               

则A矩阵将这组基映射为：

                                                            

如果要使他们两两正交，即

                                      

根据假设，存在

                                      

所以如果正交基v选择为A'A的特征向量的话，由于A'A是对称阵，v之间两两正交，那么

                                                  

这样就找到了正交基使其映射后还是正交基了，现在，将映射后的正交基单位化：

因为

                  

所以有

                                

所以取单位向量

                                        

由此可得

                

当k < i <= m时，对u1，u2，...，uk进行扩展u(k+1),...,um，使得u1，u2，...，um为m维空间中的一组正交基，即

同样的，对v1，v2，...，vk进行扩展v(k+1),...,vn（这n-k个向量存在于A的零空间中，即Ax=0的解空间的基），使得v1，v2，...，vn为n维空间中的一组正交基，即

则可得到

继而可以得到A矩阵的奇异值分解：

                                                 

                

4.计算

参考

https://blog.csdn.net/shenziheng1/article/details/52916278

https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html

https://blog.csdn.net/zhongkejingwang/article/details/43053513