(1)不考虑权重的TOPSIS方法

1.对原始矩阵进行正向化

首先给出常见的四种指标:
为了处理方便，每一次都要将指标转化为极大型指标(正向化)。
下面给出不同的指标的正向化的方法(假设数据中的任意一列为 $X$ ):
$①$ 对极小型指标的正向化
$\widetilde{x_i}=\max_{x_i}-x_i$
例如对细菌总数:

$②$ 对中间型指标的正向化
假设要接近的中间值为 $m i d$
$M=\max_i\{|x_i-mid|\}$
$\widetilde{x_i}=1-\dfrac{|x_i-mid|}{M}$
例如对PH值:
在这里插入图片描述
$③$ 对区间型指标的正向化
假设要接近的区间值为 $[l e f t, r i g h t]$
$M=\max\{left-min(x_i),max(x_i)-right\}$
$\widetilde{x_i}=\left\{ \begin{aligned} & 1-\dfrac{left-x_i}{M} &x_i<left\\ & 1 &left<x_i<right\\ & 1-\dfrac{x_i-right}{M}&x_i>right \end{aligned} \right.$
例如对植物性营养含量:
在这里插入图片描述

2.正向化矩阵标准化

标准化的目的是为了消除量纲的影响
对 $m$ 个要评价的对象，各有 $n$ 各评价指标,完成正向化后的矩阵
$\left[ \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \dotsb & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & \dotsb & x_{2n}\\ \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ x_{m1} & x_{m2} & \dotsb & x_{mn} \\ \end{matrix} \right]$
标准化的公式为 $\widetilde{x_{ij}}=\dfrac{x_{ij}}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^mx_{ij}^2}}(j=1\dotsb n)$

也就是 $\dfrac{每一个元素}{ \displaystyle\sqrt{ 其所在列的所有元素的平方和 }}$

3.计算得分并归一化

对于已经标准化完成的矩阵:
$\left[ \begin{matrix} z_{11} & z_{12} & \dotsb & z_{1n}\\ z_{21} & z_{22} & \dotsb & z_{2n}\\ \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ z_{m1} & z_{m2} & \dotsb & z_{mn} \\ \end{matrix} \right]$
凑出最小值和最大值
最大值 $Z^+=\{Z^+_1,Z^+_2\dotsb,Z^+_n\}=\{ max\{z_{11},z_{21},\dotsb,z_{m1}\},max\{z_{12},z_{22},\dotsb,z_{m2}\},\dotsb ,max\{z_{1n},z_{2n},\dotsb,z_{mn}\}\}$ 是一个 $1\times n$ 的行向量,每一列的取值都是 $Z$ 中那一列的最大值。

最小值 $Z^+=\{Z^-_1,Z^-_2\dotsb,Z^-_n\}=\{ min\{z_{11},z_{21},\dotsb,z_{m1}\},min\{z_{12},z_{22},\dotsb,z_{m2}\},\dotsb ,min\{z_{1n},z_{2n},\dotsb,z_{mn}\}\}$ 是一个 $1\times n$ 的行向量,每一列的取值都是 $Z$ 中那一列的最小值。
计算每一个评价对象到 $Z^+$ 和 $Z^-$ 的距离:
$D_i^+=\sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^n (Z_j^+-z_{ij})^2}$

$D_i^-=\sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^n (Z_j^--z_{ij})^2}$

$S_i=\dfrac{D_i^-}{D_i^-+D_i^+}$ $S_i\in(0,1)$ 并且由于进行了正向化的处理， $S_i$ 越大表明 $D_i^+$ 越小，也就是该评价对象与 $Z^+$ 越接近。
求出距离矩阵
$\left[ \begin{matrix} S_1 \\ S_2 \\ \vdots \\ S_m\\ \end{matrix} \right]$
对 $S$ 进行归一化处理。

(2)考虑权重的TOPSIS方法

使用层次分析法先计算出每一个指标的权重。
$W=(w_1,w_2,\dotsb,w_n)$
在计算 $D_i^+$ 与 $D_i^-$ 的时候将每一个因素权重乘进去就行了。

$D_i^+=\sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^n (Z_j^+-z_{ij})^2w_j}$

$D_i^-=\sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^n (Z_j^--z_{ij})^2w_j}$

(3)matlab代码

主函数

%%
%导入数据
%这里database.mat应当存储一个矩阵，weight.mat应当存储一个行向量
load('database.mat');
[r,c]=size(X);
judge=input('是否需要加权处理,需要输入1，不需要输入0\n');
if judge==1
    load('weight.mat');
end
%%
%进行正向化处理
Need_Handle=input('请输入需要正向化处理的列[c_1,c_2。。。]\n');
Kind=input('请输入这些列的指标[k_1,k_2。。。],极小型为1，中间型为2，区间型为3\n');
for i=1:size(Need_Handle,2)
   X(:,Need_Handle(1,i))=Positive(Need_Handle(1,i),Kind(1,i),X(:,Need_Handle(1,i)));
end
%%
%正向化矩阵标准化
Norm=(sum(X.^2)).^0.5;
Norm=repmat(Norm,size(X,1),1);
X=X./Norm;
%%
%进行距离的计算
Dmax=zeros(r,1);
Dmin=zeros(r,1);
S=zeros(r,1);
Zmax=max(X);
Zmin=min(X);
if judge==0
    for i=1:r
        Dmax(i,1)=(sum((Zmax-X(i,:)).^2)).^0.5;
        Dmin(i,1)=(sum((Zmin-X(i,:)).^2)).^0.5;
    end
elseif judge==1
    for i=1:r
        Dmax(i,1)=(sum((Zmax-X(i,:).*weight).^2)).^0.5;
        Dmin(i,1)=(sum((Zmin-X(i,:).*weight).^2)).^0.5;
    end
end
S=Dmin./(Dmax+Dmin);
S=S/sum(S);
%%
%对结果进行排序
[value,index]=sort(S)

用到的Positive函数

function X_Col=Positive(Need_Handle_Index,Kind_Index,Need_Handle_Col)
if Kind_Index==1
    M=repmat(max(Need_Handle_Col),size(Need_Handle_Col,1),1);
    X_Col=M-Need_Handle_Col;
elseif Kind_Index==2
    best=input(['第',num2str(Need_Handle_Index),'列为中间型，请输入其best值\n']);
    Best_Vector=repmat(best,size(Need_Handle_Col,1),1);
    Max_Length=max(abs(Best_Vector-Need_Handle_Col));
    Length=abs(Best_Vector-Need_Handle_Col);
    M=repmat(Max_Length,size(Need_Handle_Col,1),1);
    X_Col=ones(size(Need_Handle_Col,1),1)-Length./M;
elseif Kind_Index==3
    X_Col_copy=zeros(size(Need_Handle_Col,1),1);
    range=input(['第',num2str(Need_Handle_Index),'列为中间型，请输入其区间[left,right]值\n']); 
    Max_Length=max([max(Need_Handle_Col)-range(1,2),range(1,1)-min(Need_Handle_Index)]);
    for i=1:size(Need_Handle_Col,1)
        if Need_Handle_Col(i,1)>=range(1,1)&&Need_Handle_Col(i,1)<=range(1,2)
            X_Col_copy(i,1)=1;
        elseif Need_Handle_Col(i,1)<range(1,1)
            X_Col_copy(i,1)=1-(range(1,1)-Need_Handle_Col(i,1))/Max_Length;
        else
            X_Col_copy(i,1)=1-(Need_Handle_Col(i,1)-range(1,2))/Max_Length;
        end
    end
    X_Col=X_Col_copy;
end

优劣解距离法 TOPSIS

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