数学建模与数据分析中的灰色关联分析

灰色关联分析
可以在数据量比较少的情况下，分析出主要因素、次要因素等

(1) 数理统计传统方法的问题

• 回归分析、方差分析、主成分分析的不足之处
  • 要求数据量比较大，数据量较少就难以找出统计规律。
  • 要求样本服从某个典型分布，但通常比较难满足。
  • 可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象，比如符号不同，由内生性导致。

(2) 灰色关联分析

1. 基本思想

• 根据序列曲线的几何形状的相似程度来判断特征的联系是否紧密，曲线越接近相应序列之间的关联度就越大，反之越小。
• 本质是在找系统行为的映射量，用映射量来间接地表征系统行为。

2. 进行系统分析

假设数据一共有 $n$ 个样本， $p$ 个指标：
$$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1p}\\ x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& x_{n2}& \cdots & x_{np}\end{array}\right]$$
反映所有指标的总的序列为：$\mathbf{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n{)}^T$
$①$ 确定分析数列

• 母序列：能反应系统行为特征的数据序列，类似于因变量的定义。
• 子序列：影响系统行为的因素组成的数据序列，类似于自变量的定义。

$②$ 对变量进行预处理

• 目的：去量纲并且缩小指标的范围。
• 对母序列和子序列中的每个值进行处理：先求出每个指标的均值，再用该指标中的每个元素都除以其均值。
• 假设预处理之后的序列为
  • 母序列：$\mathbf{y}=(y(1),y(2),\dots ,y(n){)}^T$
  • 子序列：
    $$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_1& =(x_1(1),x_1(2),\dots ,x_1(n){)}^T\\ {\mathbf{x}}_2& =(x_2(1),x_2(2),\dots ,x_2(n){)}^T\\ ⋮& \\ {\mathbf{x}}_{\mathbf{p}}& =(x_p(1),x_p(2),\dots ,x_p(n){)}^T\end{array}$$

$③$ 计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
　　
　　$a=\underset{i}{\min }\underset{k}{\min }|y(k)-x_i(k)|$ (两极最小差)
　　$b=\underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|y(k)-x_i(k)|$ (两极最大差)
$y(k)$ 与 $x_i(k)$ 的关联系数
$${ϵ}_i(k)=\frac{a+\rho b}{|y(k)-x_i(k)|+\rho b}(i=1,2,\dots ,p;k=1,2,\dots ,n)$$
$\rho$ 称为分辨系数，值越小，分辨力越大，一般 $\rho$ 的取值区间为 $(0,1)$,具体取值可视情况而定。当 $\rho \le 0.5463$ 时，分辨力最好，通常取 $\rho =0.5$。

$④$ 计算关联度
计算 $\mathbf{y}$ 与 ${\mathbf{x}}_i$ 之间的关联度
$$r_i=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{ϵ}_i(k)$$

3. 用于综合评价模型

$①$ 对指标进行正向化，就是在 TOPSIS 中的处理方法。
$②$ 对正向化后的矩阵进行预处理，得到矩阵
$$Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \cdots & z_{1p}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots & z_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{n1}& z_{n2}& \cdots & z_{np}\end{array}\right]$$
$③$ 构造虚拟母序列：取矩阵 $Z$ 中每一行的最大值构成母序列。
$④$ 计算各个指标与母序列间的灰色关联度 $r_i(i=1,2,\dots ,p)$
$⑤$ 计算各个指标的权重：$$w_i=\frac{r_i}{\sum _{i=1}^p{r}_i}(i=1,2,\dots ,p)$$
$⑥$ 第 $k$ 个评价对象的得分 $$S_k=\sum _{i=1}^p{z}_{ki}{w}_i(k=1,2,\dots ,n)$$
$⑦$ 对得分进行归一化
$$S_k^{\prime }=\frac{S_k}{\sum _{k=1}^p{S}_k}$$
下图是分别使用灰色关联分析和熵权法+topsis得到的结果，可以看出基本相同。