习题课3-1
数字三角形
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一个三角形(金字塔状)有n行，第i行有i个数字，数字错位排列
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求出从顶端走到底端的一条路径，满足路径上的数字之和最大，同时在路径上行走时，每次只能走到下一行相邻的数字上
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4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -
输出20
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每一次都要向下走一行，同时只能走到相邻两个点上，不会走回头路
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每行只会经过一个点
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在三角形某个位置（i,j)上，可以发现只有两个点可以走进该点，即（i-1,j),(i-1,j-1)
解法1
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写一个搜索，从顶端向下找出所有到达底端的路径
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会有大量重复
解法2
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a(i,j)表示位置(i,j)上的数字，d(i,j)能得到的最优路径之和
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某一个点的d(i,j)，只能是d(i-1,j)和d(i-1,j-1)走过来，找出其大者，同时加上当前点a(i,j)，即可写出状态转移方程
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d ( i , j ) = m a x { d ( i − 1 , j − 1 ) , d ( i − 1 , j ) } + a ( i , j ) d(i,j) = max\{d(i-1,j-1),d(i-1,j)\} +a(i,j) d(i,j)=max{ d(i−1,j−1),d(i−1,j)}+a(i,j)
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i-1 j-1有可能越界，在外面包一层0，取max的时候自动就会取里面的数字非0的数字
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最后答案就是：
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m a x { d ( n , j ) ∣ 1 ≤ i ≤ n } max\{d(n,j)|1\leq i\leq n\} max{ d(n,j)∣1≤i≤n}
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即，动态规划
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不会走到重复的地方->无后效性->有向无环图
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每次只有两个决策->选一个最优的决策->全局最优
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最后在底端一行里面比较出最大者
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时间复杂度，每一次取了3次常数O(3) = O(1)，状态树一共有n的平方个状态，所以就是O(n2)
背包问题1
- n种物品，每种物品有相应的价值和体积，物品分为两类，一类是单个物品，即该物品只有一个，一类是多个物品，即该物品有无限个
- 给定一个体积为V的背包，求一种装填方案使得价值之和最大
问题分析
- 单个物品用经典01背包
- 无限物品，即完全背包
解法1
01背包
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令f(i,j)表示前i个物品，用一个容量为j的背包能装下物品(不能超过容量j，最大等于j)的最大价值之和
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体积为v，价值为w的物品i，然后对于容量为j的背包
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f ( i , j ) = m a x { f ( i − 1 , j ) , f ( i − 1 , j − v ) + w } f(i,j) = max \{f(i-1,j),f(i-1,j-v)+w\} f(i,j)=max{ f(i−1,j),f(i−1,j−v)+w}
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对于某个物品，两个策略就是放与不放
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不放就是f(i-1,j)，放的话就是f(i-1,j-v)+w
完全背包
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类似于01背包
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f ( i , j ) = m a x { f ( i − 1 , j ) , f ( i , j − v ) + w } f(i,j) = max \{f(i-1,j),f(i,j-v)+w\} f(i,j)=max{ f(i−1,j),f(i,j−v)+w}
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f(i,j-v)：前i个物品，容量为j-v的背包，也就是说我们可能已经在这个j-v的背包里放过一些物品i了，这就包含了无限物品的意思。
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更详细的解释：将无限个物品拆成一个一个的，然后做01背包，假如第a个物品到第b个物品都是我们拆的物品（完全相同的而且足够多），那么根据01背包，我们有：
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KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 54: …},a\leq i\leq b\̲ ̲
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我们将f(a…)、f(a+1…)、…、f(b,…)这些数组取最大值和到一起
滚动数组
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01背包更新时只用到了<i的值，所以可以重复利用信息
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01背包可以这些写（倒序枚举j）
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f ( i , j ) = m a x { f ( j ) , f ( j − v ) + w } f(i,j) = max \{f(j),f(j-v)+w\} f(i,j)=max{ f(j),f(j−v)+w}
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倒序枚举计算时，在枚举物品i时，在倒序计算时，体积j时从后往前更新最大价值，此时后面的值等于前面的值加上物品i的价值，而前面的最大价值没有考虑加入物品i的情况，所以只考虑加入一次的情况
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完全背包可以这样写（顺序枚举j)
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f ( i , j ) = m a x { f ( j ) , f ( j − v ) + w } f(i,j) = max \{f(j),f(j-v)+w\} f(i,j)=max{ f(j),f(j−v)+w}
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顺序枚举时，在枚举物品i是，背包体积是从前往后更新最大价值，此时后面的值更新时，前面的最大价值计算已经考虑了加入1,2,…,若干件i的情况，此时就考虑了这个背包装满时最大能装物品i的情况，也就是无穷物品
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得到的结果和二维结果一样
public class beibaowenti1_3_1 {
public static void main(String[] args) {
InputStream inputStream = System.in;
OutputStream outputStream = System.out;
InputReader in = new InputReader(inputStream);
PrintWriter out = new PrintWriter(outputStream);
Task solver = new Task();
solver.solve(in, out);
out.close();
}
static class Task {
// ================= 代码实现开始 =================
/* 请在这里定义你需要的全局变量 */
final int N = 5005;
int[] f = new int [N];
// n：物品个数
// V：背包的体积
// t：长度为n的数组，第i个元素若为0，表示物品i为单个物品；若为1，表示物品i为多个物品。（i下标从0开始，下面同理）
// w：长度为n的数组，第i个元素表示第i个物品的价值
// v：长度为n的数组，第i个元素表示第i个物品的体积
// 返回值：最大价值之和
int getAnswer(int n, int V, List<Integer> t, List<Integer> w, List<Integer> v) {
/* 请在这里设计你的算法 */
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (t.get(i) == 0) {
// 01背包
// 倒序计算不具备累加性，每种物品只算了一次
// f[5] = max(f[5],f[5-v(0)]+w(0))对于体积为5的背包，只算了装一次序号0物品的情况
for (int j = V; j >=v.get(i) ; j--) {
f[j] = Math.max(f[j],f[j-v.get(i)]+w.get(i));
}
}else {
// 完全背包
// 正序计算具备累加性，物品可以算任意次，只要不超过背包体积
// f[v(0)] = max(f[v(0)],f[v(0)-v(0)]+w(0))
// f[v(0)+v(0)] = max(f[v(0)+v(0)],f[v(0)]+w(0))
for (int j = v.get(i); j <=V ; j++) {
f[j] = Math.max(f[j],f[j-v.get(i)]+w.get(i));
}
}
}
return f[V];
}
// ================= 代码实现结束 =================
void solve(InputReader in, PrintWriter out) {
int n = in.nextInt(), V = in.nextInt();
List<Integer> T = new ArrayList<>();
List<Integer> W = new ArrayList<>();
List<Integer> _V = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < n; ++i) {
int t = in.nextInt(), w = in.nextInt(), v = in.nextInt();
T.add(t);
W.add(w);
_V.add(v);
}
out.println(getAnswer(n, V, T, W, _V));
}
}
拓展
- 01背包，选与不选
- 完全背包，每个物品有无限个，想选多少选多少
- 多重背包，物品不是有限个，但是有多个，同样是想选多少选多少
背包问题2
- n个物品，每个物品有一个体积和价值
- q次询问，若把物品x丢弃，剩下的物品装进大小为V的背包得到的最大价值是多少？
问题分析
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把剩下的物品直接拿来做01背包，可以通过一部分数据
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把容量为V的背包，拆分成两个背包，体积分别是V1、V2(V1+V2=V)
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假若我们将一堆物品分成了两份，然后分别将每一份撞到拆出来的背包里，同时求出最优解，那么
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A n s ( V ) = m a x { A n s 1 ( V 1 ) + A n s 2 ( V 2 ) ∣ V 1 + V 2 = V , V 1 , V 2 > = 0 } Ans(V) = max\{Ans1(V1)+Ans2(V2)|V1+V2=V,V1,V2>=0\} Ans(V)=max{ Ans1(V1)+Ans2(V2)∣V1+V2=V,V1,V2>=0}
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对应到题目，如果丢弃的是x,x序号之前的物品用v1背包装，x序号之后的物品用v2背包装
public class beibaowenti2_3_1 {
public static void main(String[] args) {
InputStream inputStream = System.in;
OutputStream outputStream = System.out;
InputReader in = new InputReader(inputStream);
PrintWriter out = new PrintWriter(outputStream);
Task solver = new Task();
solver.solve(in, out);
out.close();
}
static class Task {
// ================= 代码实现开始 =================
final int N = 5005;
int[][] d = new int[N][N];
int[][] f = new int[N][N];
/* 请在这里定义你需要的全局变量 */
// n个物品，每个物品有体积价值，求若扔掉一个物品后装进给定容量的背包的最大价值
// n：如题
// w：长度为n+1的数组，w.get(i)表示第i个物品的价值（下标从1开始，下标0是一个数字-1，下面同理）
// v：长度为n+1的数组，v.get(i)表示第i个物品的体积
// q：如题
// qV：长度为q+1的数组，qV.get(i)表示第i次询问所给出的背包体积
// qx：长度为q+1的数组，qx.get(i)表示第i次询问所给出的物品编号
// 返回值：返回一个长度为q的数组，依次代表相应询问的答案
List<Integer> getAnswer(int n, List<Integer> w, List<Integer> v, int q, List<Integer> qV, List<Integer> qx) {
/* 请在这里设计你的算法 */
// 丢弃的x之前的最大价值背包
// 枚举n个物品
// 计算前缀背包
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 由于是二维数组，需要做充填备忘
// 对于i=1时，d[1][j] = d[0][j]
// 对于i=2时，d[2][j] = d[1][j]
for (int j = 0; j < v.get(i); j++) {
d[i][j] = d[i-1][j];
}
// 01背包问题
// 对于体积为v，价值为w的物品i，要装填到背包体积为j的背包中的最大价值
// d[i-1][j]表示不放物品i，只放i之前的物品时所能装的最大价值
// d[i-1][j-v.get(i)]+w.get(i) 表示放入物品i后，恰好装满背包，此时由没放物品i,背包体积为当前体积减去物品i体积的最大价值背包加上物品i的价值
// 两者中较大者即为最大价值
for (int j = v.get(i); j <= 5000; j++) {
d[i][j] = Math.max(d[i-1][j],d[i-1][j-v.get(i)]+w.get(i));
}
}
// 丢弃的x之后的最大价值背包
// 与上面的过程相反，上面是依照物品正序求最大背包
// 此处依照物品顺序倒序求最大背包
// 计算后缀背包
for (int i = n; i >= 1; i--) {
for (int j = 0; j < v.get(i); j++) {
f[i][j] = f[i+1][j];
}
for (int j = v.get(i); j <= 5000; j++) {
f[i][j] = Math.max(f[i+1][j],f[i+1][j-v.get(i)]+w.get(i));
}
}
List<Integer> ans = new ArrayList<>();
for (int k = 1; k <= q; k++) {
int x = qx.get(k),V = qV.get(k);
// 最大值，将背包拆分成x之前的背包，和x之后的背包，所有组合中的背包和
int mx = 0;
for (int i = 0; i <= V; i++) {
mx = Math.max(mx,d[x-1][i]+f[x+1][V-i]);
}
ans.add(mx);
}
return ans;
}
// ================= 代码实现结束 =================
void solve(InputReader in, PrintWriter out) {
int n, q;
List<Integer> v = new ArrayList<>();
List<Integer> w = new ArrayList<>();
List<Integer> qv = new ArrayList<>();
List<Integer> qx = new ArrayList<>();
v.add(-1);
w.add(-1);
qv.add(-1);
qx.add(-1);
n = in.nextInt();
for (int i = 0; i < n; ++i) {
int a = in.nextInt(), b = in.nextInt();
v.add(a);
w.add(b);
}
q = in.nextInt();
for (int i = 0; i < q; ++i) {
int a = in.nextInt(), b = in.nextInt();
qv.add(a);
qx.add(b);
}
List<Integer> ans = getAnswer(n, w, v, q, qv, qx);
for (int i = 0; i < q; ++i)
out.println(ans.get(i));
}
}