习题5-3
纸牌
- 给你n张牌，对手同样有n张牌
- 所有的牌都互不相同
- 每轮你和你的对手都打出一张牌
- 牌的点数更小的获胜
- 问你运气最好能获胜几轮
分析
- n<=10^5
- 怎么枚举不同的情况
解法1
- 我出一张牌，对方出一张牌，牌就没了
- 可以用一张表格来表达流程，表格确定，比赛就比完了
- 枚举完所有的表格，找到赢得最多的即为答案
- 枚举我可能出的牌，枚举地方可能出的牌
- 我的复杂度O(n!) 敌方O(n!)
- 总共O((n!)^2)
- 重要的是你的牌的对局关系，你这次牌第几轮打出的是没有影响的
- 固定一方的出牌顺序，所以只需要枚举一列的就可以找出所有的情况，这也就是本质不同的出牌顺序，复杂度变为O(n!)
- 对对方的牌进行排序，假设第一张牌是最厉害的，
- 采用减而治之的思路，考虑我方第一张牌出什么牌？
- 1.如果我方最厉害的牌不能战胜对方最厉害的牌，则我方所有的牌都不能赢，则拿我方最差的一张牌来对你，这是一种很明显的贪心思想
- 2.因为不可能出现平局，如果我方最厉害的一张牌能战胜对面最厉害的那张牌，此时这张牌可以看成负INF，换个视角，在对方看来，对方使出最大的那张牌是最不划算的，所以我方就应该拿最厉害的牌来消耗对面最厉害的牌
程序设计
- 第一步，对对方所有的牌进行排序
- 同时需要对自己所有的牌进行排序，拿最大值比较，同时需要找到最小值，换言之，对我们的牌堆，需要能够快速查询最大值和最小，以及快速删除最大值和最小值，通过排序，加前后两个指针就可以实现这些操作
代码分析
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for (int i = 1; i <= 2*n; i++) { arr[i] = i; } for (int i = 1; i <= n; i++) { exsit[arr[scanner.nextInt()]] = true; } -
读入我方的牌，同时表示出现的牌，则没出现的牌就是对方的牌
-
int ans = 0; int flag = 1; for (int i = 1; i <= n && flag<=n; i++) { if (a[i]>b[flag]){ ans++; flag++; } } -
用flag指针来标记我方最厉害的牌
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当我方最厉害的牌比对方最厉害的牌厉害，则消耗一张最厉害的牌
-
当我方最厉害的牌赢不了对方时，就不消耗，并不需要去记录尾指针的值
标程
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public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int n = scanner.nextInt(); boolean[] exsit = new boolean[2*n+1]; // 对方牌的点数 int[] a = new int[n+1]; // 我方牌的点数 int[] b = new int[n+1]; int[] arr = new int[2*n+1]; for (int i = 1; i <= 2*n; i++) { arr[i] = i; } for (int i = 1; i <= n; i++) { exsit[arr[scanner.nextInt()]] = true; } int p = 1; int q = 1; for (int i = 1; i <= 2*n; i++) { if (exsit[i]){ b[p++] = arr[i]; }else { a[q++] = arr[i]; } } // 排序 Arrays.sort(a); Arrays.sort(b); int ans = 0; int flag = 1; for (int i = 1; i <= n && flag<=n; i++) { // a[i]是对方当前最厉害的牌 // b[flag]是我方当前最厉害的牌 // 末端位置没有记录，发现不需要查询最小值是多少，不关心点数，所以不记录 // 害怕越界，但是对方的牌每轮都在进行，对方牌发完也就比完了 if (a[i]>b[flag]){ ans++; flag++; } } System.out.println(ans); }
题目的复杂情况
- 如果牌并不是两两相同，这对于题目解决是很有用的信息
- 即有可能出现平局
- 如果遇到两两相等的情况了，出现了一个争议
- 发现一个问题，先不解决它，先去解决别的问题，后面自然解决它，岂不美哉？
- 先搁置这个情况，反向去比较，从末端去比较最弱的牌，如果我方最弱的牌等战胜对方最弱的牌，就用这张牌去消耗，如果我方最弱的牌不能战胜对方最弱的牌，就不如去送死，保留自己的战斗力，则用这张牌去消耗对方最强的牌，这样就可能化解掉争议，解决之前的问题
- 更复杂的情况，上面遇到争议，下面也遇到争议，即两边都有争议，此时如何解决？
- 假设平局可以得0.5分，我方最强的牌和对方最强的牌平局，我方最弱的牌和对方最弱的牌也是平局，此时有一种一般情况，即拿最强对最强，最弱对最弱，此时可以得到1分，最糟糕的情况是我方最强对地方最弱，此时仍然可以得到1分，发现最糟糕的情况仍然可以得1分，所以最后就采用最糟糕的情况的出牌方式。
青蛙
- 数轴上给定n个点，有n个坐标，同时有n个分数
- 初始需要选择起点， 同时选择一个方向，需要往这个方向跳跃，而且每次跳跃的距离不能少于上次的跳跃距离，并且跳跃方向必须与上一次保持一致
- 求尽可能大的坐标累加分数
暴力法
- 枚举起点
- 枚举下一步跳到哪个点，同时记录分数总和
- 需要判断这个点能不能跳
- 能跳则继续搜索，不能跳就放弃这个点，继续枚举下一个点
记录的信息
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当前达到的点[1,n]
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上一步跳跃的距离（这个数可能非常大，换一种记录方法，上一次到达的点[1,n]）
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分数总和(条件相同情况下，越大越好)（小的信息根本不用记，直接丢掉）
局限性
- n来到1000，搜索算法(暴力法)时间复杂度是行不通的
分析
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分析记录的信息，是否发现使用什么算法？
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对于一个状态，记录的信息只有两个（前两个）（可以接受的量级），还有一个信息是用来判断状态好坏的
-
所以是动态规划算法，前两个需要记录的，规模比较小的变量，当做状态的表示，我们把分数当做状态的函数值，转移怎么设计？按照搜索思路去设计
动态规划
- dp(i)(j)表示当前节点是i，上一个节点为j时最大得分
- x[i]-x[j]上一次跳跃的距离
- 枚举下一个节点k
- if(x[k]-x[i]>=x[i]-x[j])
- dp(k)(i) = max(dp(k)(i),dp(i)(j)+s(k))，这是一种push的转移
- 边界条件是dp(i)(j)=s(i)+s(j)，因为第一步跳跃不受限制
- 时间复杂度是O(n^3)，空间复杂度和状态树同阶，是n的平方
代码分析
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for(int i = 1; i <= n; ++i){ int x, y; scanf("%d%d", &x, &y); a[i] = pair<int, int> (x, y); } -
a[i]中x是坐标，y是分数
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for(int round = 0; round < 2; ++round){ sort(a + 1, a + n +1); for(int i = 1; i <= n; ++i){ dp[i][i] = a[i].second; for(int j = 1; j < i; ++j){ dp[i][j] = 0; for(int k = j; k && 2 * a[j].first <= a[i].first + a[k].first; --k) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[j][k]); ans = max(ans, (dp[i][j] += a[i].second)); } } for(int i = 1; i <=n; ++i) a[i].first = -a[i].first; } -
进行两轮的算法处理，每一次都是从左往右跳，但是第二轮对坐标轴进行了相对于原点的反转
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sort(a + 1, a + n +1); -
每一轮的开始都对坐标进行排序(只对x排序)
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for(int i = 1; i <=n; ++i) a[i].first = -a[i].first; -
第一轮的最后对所有的坐标都取负，相当于把数轴相对于原点进行了翻转
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dp[i][i] = a[i].second; -
假设第一步是从i跳到i（边界条件初始化）
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此处的状态转移是采用的pull的转移方式，即当前这种状态可以由哪些状态达到
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dp[i][j] = 0; -
初始化前一步跳动的记录，
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2 * a[j].first <= a[i].first + a[k].first -
a[j].first-a[i].first<=a[k].first-a[j].first时，前一步的跳跃距离小于等于当前这一步的跳跃距离时，找到可以跳的得到的最大分数
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dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[j][k]); -
此处没有加上这一步的跳跃分数，是放在了更新答案时统一加上，
标程
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#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1003; int n; int dp[N][N]; int main() { pair<int, int> a[N]; scanf("%d", &n); for(int i = 1; i <= n; ++i){ int x, y; scanf("%d%d", &x, &y); a[i] = pair<int, int> (x, y); } int ans = 0; // 两轮处理 // 第二次将坐标按原点翻转，这样就相当于左右跳都考虑了 for(int round = 0; round < 2; ++round){ // 对坐标排序 sort(a + 1, a + n +1); for(int i = 1; i <= n; ++i){ // 设置边界条件 // 第一步是i跳到i，下一步随便跳，肯定大于0 dp[i][i] = a[i].second; for(int j = 1; j < i; ++j){ dp[i][j] = 0; // 更前一个节点k，先跳到j，再跳到i // 2 * a[j].first <= a[i].first + a[k].first 小小的剪枝，当k跳到j必须满足从j跳到i的要求 for(int k = j; k && 2 * a[j].first <= a[i].first + a[k].first; --k) // 这是一种pull的转移 // 求出一个最大的dp[j][k] dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[j][k]); // 对于dp[i][j]，加的是s[i]，不管前面从哪里转移来，加的都一样 ans = max(ans, (dp[i][j] += a[i].second)); } } // 坐标翻转 for(int i = 1; i <=n; ++i) a[i].first = -a[i].first; } printf("%d\n",ans); return 0; }