背包01问题

背包01问题是一个经典的算法。

问题是这样描述的：一个背包最大容量为9kg，现在有5个物品，每个物品都有自己的重量，请问背包最后最多能装多少重量的物品。5个物品的重量分别是2,2,4,8,6

解决这个问题可以用多种算法、贪心法、回溯法、动态规划。

贪心法：依次那物品，每次挑选最优的情况，这样认为最后就是得到的最优解。这样的解决思路可能会有问题，并不能保证每次都是正确的。对于这个问题是这样解决：

第一次取重量最小的 2，这时背包重量为2没有超过9再次挑选

第二次取重量最小的2，这时重量为4 没有超过9再次挑选

第三次取重量最小的4，这时重量为8没有超过9再次挑选

第四次取重量最小的6，这时重量为14超出重量所以最终结果为8

回溯法：也是穷举法，将所有可能的组合全部拼接出来，然后取符合条件的值。这样的解决思路一定能得到最优解，但是效率可能会比较低。回溯法会用到递归，很难用语言描述清楚，在这里献上代码：

// 回溯算法实现。注意：我把输入的变量都定义成了成员变量。
private int maxW = Integer.MIN_VALUE; // 结果放到 maxW 中
private int[] weight = {2，2，4，6，3};  // 物品重量
private int n = 5; // 物品个数
private int w = 9; // 背包承受的最大重量
public void f(int i, int cw) { // 调用 f(0, 0)
  if (cw == w || i == n) { // cw==w 表示装满了，i==n 表示物品都考察完了
    if (cw > maxW) maxW = cw;
    return;
  }
  f(i+1, cw); // 选择不装第 i 个物品
  if (cw + weight[i] <= w) {
    f(i+1,cw + weight[i]); // 选择装第 i 个物品
  }
}

动态规划：传说中的上帝视角，可以知道每次选择的结果，并且知道下次选择的结果。实际上他跟回溯法有些类似，但是不用递归实现。对于这个问题：每个物品都有两种选择放入包中，和不放入包中，这个决策会影响第二次放置物品，然后根据第一种情况推出第二种情况的所有所有取值，再推出第三种选择，最终得到所有的情况。献上代码:

public class OneAndTwoPackage {
    public static int WEIGHT_MAX = 20;//最大重量
    public static void main(String[] args) {
        int[] weightList = {7,2,3,6,1}; //每个物品的重量
        System.out.println(dynamicPlanOne(weightList, 5));
        System.out.println(dynamicPlanTwo(weightList, 5));
    }
    /**
     *
     * @param weightList  物品重量
     * @param num 物品个数
     * @return
     */
    public static int dynamicPlanOne(int[] weightList, int num){
        //解决这个问题的思路就是
        /**
         * 每个物品都有两种选择，后一种基于前一种的可能会有更多的选择，将所有的可能列举并记录总重量
         * 第一个 有两种可能  放 总重量为2 不放为0
         * 第二个 有三种可能 放 2,4  不放0,2 总共为0,2,4
         * 第三个  有5种可能         放 4,6,8 不放 0,2,4
         */
        boolean[][] weightFlag = new boolean[num][WEIGHT_MAX+1];//初始化所有的标记默认为false
        weightFlag[0][0] = true;
        for (int i = 0; i < num; i++) {
            //寻找上一层可能，如果是第一层则将放置该物品的下标设置为true
            //如果不是第一层，则将该层已经设置为true的下标设为true 并把值取出与上一层的位置加和设置为true
            if (0 <= i-1){
                boolean[] preWeight = weightFlag[i-1];
                for (int i1 = 0; i1 <= WEIGHT_MAX; i1++) {
                    if (preWeight[i1]){
                        //不放
                        weightFlag[i][i1] = true;
                        //放
                        int weight = weightList[i] + i1;
                        if (weight <= WEIGHT_MAX)
                        weightFlag[i][weight] = true;
                    }
                }
            }else {
                weightFlag[i][weightList[i]] = true;
            }
        }
        //最后一层，的最大值即为最大重量
            for (int j = WEIGHT_MAX; j >=0 ; j--) {
                if (weightFlag[num-1][j]){
                   return j;
                }
        }
        return 0;
    }

    /**
     * 一维数组
     * @param weightList
     * @param num
     * @return
     */
    public static int dynamicPlanTwo(int[] weightList, int num){
        boolean[] weightFlg = new boolean[WEIGHT_MAX+1];//所有重量的分层
        weightFlg[0] = true;//不放的时候为0
        for (int i = 0; i < num; i++) {
            if (i-1 < 0){ //第一层放与不放
                weightFlg[weightList[i]] = true;
            }else{
                //一定要从大到小计算，不然会出现重复计算的情况
                /**
                 * 比如：第二个物品的重量为2
                 * 第一个物品不放第二个物品放则重量为2 所以将2位置设置为true
                 * 继续循环重量，现在第二个位置的值是true，+2又将4位置的重量设置为true这样是不符合道理的
                 * 倒序的话，依次往前走设置的值都在后面，遍历是向前所以不会重复
                 */
                for (int weightMax = WEIGHT_MAX; weightMax > 0; weightMax--) {
                    if (weightFlg[weightMax]){
                        if (weightMax+weightList[i] <= WEIGHT_MAX){
                            weightFlg[weightMax+weightList[i]] = true;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        for (int i = weightFlg.length - 1; i >= 0; i--) {
            if (weightFlg[i]){
                return i;
            }
        }
        return 0;
    }
}

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