【单题题解】UOJ #41【清华集训2014】矩阵变换

题意

原题题意已经够简明，所以直接传送门。

题解

显然这是一个二分图匹配问题。

先看什么情况下不合法。如果对于行 $i, j$，它们各自选了 $p_i, p_j$，那么 $p_i$ 会导致不合法当且仅当 $p_i$ 在 $i$ 中的位置比 $j$ 靠前。

然后是一个神仙的观察：如果把行看作男性，从前向后的 $[1, N]$ 排列看作是降序的喜爱程度，而把要构造的排列看作女性，把其在每一行出现的下标从大向小看作是降序的喜爱程度，那么这就等价于 $(i, p_i), (j, p_j)$ 不稳定。

因此只要用 GS 算法找出一个稳定的匹配即可。

小结

这个观察太神仙了，如果没有提示这是稳定婚姻问题根本想不到…