解读拉普拉斯矩阵

---

1. 什么是Laplace矩阵？

       拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix) 也叫做导纳矩阵，这次笔记主要是记录下GCN学习时的注意点，在图论（Graph theory）中，对于图 G=(V,E)：

       Laplacian 矩阵的定义为 L = D - A （其中 L 是Laplacian 矩阵， D=diag(d)是对角矩阵，d=rowSum(A)，对角线上元素依次为各个顶点的度， A 则是图的邻接矩阵）

若只考虑无向图，那么L就是对称矩阵。

对于无向图的Laplace矩阵，它有哪些性质？

• 半正定矩阵（特征值非负，且是对称矩阵）；
• 对称矩阵（一定有n个线性无关的特征向量）；
• 对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交，这些正交的特征向量构成的矩阵为正交矩阵；
• 由于是半正定矩阵，所以是对称阵，那么能特征值分解（EVD）。
  
  由于 U 是正交矩阵，即UU^T=I，所以特征值分解又可以写成：
                                            

---

2. 常见的Laplace矩阵

2.1 一般形式

2.2 对称归一化形式

2.3 随机游走归一化形式

Reference

• 图卷积网络 GCN Graph Convolutional Network（谱域GCN）的理解和详细推导-持续更新