简介
本书的目的是介绍基本的集合论, 拓扑结构, 代数结构, 偏序结构这些“数学常识”, 以供读者的继续学习, 故更多地呈现语言性和常用基本的概念. 同时也呈现数学的标准语言, 防止读者误入歧途. 本书的受众被设定为至少有一学期本科学习经历的低年级的学生, 因此, 数分分析和高等代数的基本常识都被认为已知. 当然, 任何人都可将本书作为参考.
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历史 History
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本书的初稿于2016年11月19日问世.
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在2017年2月19日, 经检查, 改正了大量笔误.
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同年3月, 习题被分为习题，问题，刁题三个档次.
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同年4月, 提示被调整为灰色.
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同年5月, 页面大小调整为 A5.
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2017年12月15日到2018年02月20日将原书全部重写了一遍.
在此期间, 范畴论加入又被删去, 群作用曾经单辟一章, 现在已经变成一节, 完备格一章的闭包映射被提前提及, 完备格也因此称为一节, 总体结构变化不大.
统计 Statistics
本书共340页, 插图共67张. 定理, 命题, 引理和推论共159目, 证明和解共133目. 定义157目, 例子115目, 补充44目. 习题下共有304道题, 其中习题共179道, 问题共77道, 刁题共48道, 共提示了224次.
目录 Contents
| 第一部分 朴素集合论 |
第二部分 拓扑结构 |
第三部分 代数结构 |
第四部分 偏序结构 |
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| 第一部分 朴素集合论 第一章 集合的基本概念 1.1 集合, 元素 1.2 子集, 幂集 1.3 集合的运算 1.4 Cartesius 积 1.5 Russell 悖论 第二章 映射 2.1 映射的定义 2.2 映射的运算 2.3 交换图 . 2.4 运算与运算律 . 第三章 集合的基数 3.1 集合的基数 3.2 基数的比较 3.3 三条定理 3.4 Cantor 悖论 第四章 关系 4.1 关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的闭包 第五章 等价关系与偏序关系 5.1 等价关系与划分 5.2 等价关系与映射 5.3 偏序关系 5.4 Zorn 引理 注记 |
第二部分 拓扑结构 第六章 拓扑的基本概念 6.1 拓扑的定义和例子 6.2 子空间, 商空间 6.3 连续映射 6.4 生成的拓扑 6.5 乘积拓扑 6.6 度量空间 第七章 分离公理和可数公理 7.1 分离公理 7.2 分离公理的性质 7.3 可数公理 7.4 可数公理的性质 第八章 拓扑性质 8.1 紧致性 8.2 紧致性的性质 8.3 连通性 8.4 连通性的性质 注记 |
第三部分 代数结构 第九章 群的基本概念 9.1 群的定义和例子 9.2 子群与商群 9.3 生成的子群 9.4 同态与同构 9.5 群的直积 9.6 对称群 9.7 群作用简介 第十章 环的基本概念 10.1 环的定义和例子 10.2 子环与商环 10.3 环同态 10.4 环的直积 10.5 多项式环 10.6 模简介 第十一章 域 11.1 域的定义和例子 注记 |
第四部分 偏序结构 第十二章 偏序集的基本概念 12.1 偏序集的定义和例子 12.2 链条件与良序集 12.3 偏序集的映射 12.4 偏序集的直积 第十三章 格的基本概念 13.1 格的定义与例子 13.2 子格, 理想与滤子 13.3 同态, 同构 第十四章 更多的格 14.1 完备格 14.2 模格 14.3 分配格 14.4 Boole 代数 注记 |