强化学习中价值迭代和策略迭代各有什么优缺点？

策略迭代

  策略迭代法（Policy Iteration method）是动态规划中求最优策略的基本方法之一。它借助于动态规划基本方程，交替使用“求值计算”和“策略改进”两个步骤，求出逐次改进的、最终达到或收敛于最优策略的策略序列。

  我们发现如果想知道最优的策略，就需要能够准确估计值函数。然而想准确估计值函数，又需要知道最优策略，数字才能够估计准确。所以实际上这是一个“鸡生蛋还是蛋生鸡”的问题。而一般的策略迭代法的思路可总结为以下三个步骤：

1. 以某种策略 $\pi$开始，计算当前策略下的值函数 $v_{\pi}(s)$。
2. 利用这个值函数，更新策略，得到 $\pi^{*}$。
3. 再用这个策略 $\pi^{*}$继续前行，更新值函数，得到 $v_{\pi}^{\prime}(s)$，一直到 $v_{\pi}(s)$不在发生变化。

  第一步就是上文说的策略评估(Policy Evaluation)；第二步是如何更新策略的呢？大体思想是在当前策略的基础上，贪婪地选取行为，使得后继状态价值增加最多：

$\pi^{\prime} = greedy(v_{\pi})$

  上述过程的问题就在于策略迭代的主要时间都花费在策略评估上，对一个简单的问题来说，在策略评估上花费的时间不算长；但对复杂的问题来说，这个步骤的时间实在有些长。一个最直接的想法就是，我们能不能缩短在策略评估上花的时间呢？有，就是价值迭代。而策略迭代的优点也很明显，这样一步一步来做，是很容易证明其收敛性。

值迭代

  理解价值迭代原理的思路，可以从策略迭代的缺点出发。可以理解为是策略迭代的一个改进版本。

1. 策略迭代的策略评估需要值函数完全收敛才进行策略提升的步骤，能不能对策略评估的要求放低，这样如果可以实现的话，速度会有所提升。

2. 我们在策略迭代中关注的是最优的策略，如果说我们找到一种方法，让最优值函数和最优策略同时收敛，那样我们就可以只关注值函数的收敛过程，只要值函数达到最优，那策略也达到最优，值函数没有最优，策略也还没有最优。这样能简化了迭代步骤。

  我们的问题是寻找最优策略 $\pi$，值迭代的解决方案是：使用贝尔曼最优方程，将策略改进视为值函数的改进，每一步都求取最大的值函数。具体的迭代公式如下所示：

$v_{k+1}(s)=\max_{a \in \mathcal{A}}\left(R_{s}^{a}+\gamma \sum_{s^{\prime} \in S}\mathcal{P}_{ss^{\prime}}^{a}v_{k}(s^{\prime})\right)$

  上面这个公式与策略迭代相比，没有等到状态价值收敛才去调整策略，而是随着状态价值的迭代，及时调整策略，这样就大大减少了迭代的次数。也就是说从初始状态值函数开始同步迭代计算，最终收敛，整个过程中没有遵循任何策略。

  由于策略的调整，我们现在的价值每次更新。倾向于贪婪法寻找到最优策略对应的后续的状态价值。这样收敛的速度会更快。在值迭代过程中，算法不会给出明确的策略，迭代过程其间得到的价值函数不对应任何策略。

  基于state-value function( $v_{\pi}(s)$)每一次Iteration的 Complexity为 $O(mn^{2})$，其中 $m$表示action space， $n$表示state space。

  基于state-action value function ( $q_{\pi}(s,a)$)每一次Iteration的 Complexity为 $O(m^{2}n^{2})$，其中 $m$表示action space， $n$表示state space。