浮点数的存储

1、先看一例题:

#include <stdio.h>

  void main(void){

    int num=9; /* num是整型变量,设为9 */

    float* pFloat=&num; /* pFloat表示num的内存地址,但是设为浮点数 */

    printf("num的值为:%d\n",num); /* 显示num的整型值 */

    printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */

    *pFloat=9.0; /* 将num的值改为浮点数 */

    printf("num的值为:%d\n",num); /* 显示num的整型值 */

    printf("*pFloat的值为:%f\n",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */

  }
运算结果如下:

 num的值为:9
 *pFloat的值为:0.000000
 num的值为:1091567616
 *pFloat的值为:9.000000
num和*pFloat在内存中明明是同一个数,为什么浮点数和整数的解读结果会差别这么大?

要理解这个结果,一定要搞懂浮点数在计算机内部的表示方法。


2、在讨论浮点数之前,先看一下整数在计算机内部是怎样表示的。

 int num=9;

上面这条命令,声明了一个整数变量,类型为int,值为9(二进制写法为1001)。普通的32位计算机,用4个字节表示int变量,所以9就被保存为00000000 00000000 00000000 00001001,写成16进制就是0x00000009。

那么,我们的问题就简化成:为什么0x00000009还原成浮点数,就成了0.000000?


3、根据国际标准IEEE 754,任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式:

          V = (-1)s * M * 2^(E)

  (1)(-1)^s表示符号位,当s=0,V为正数;当s=1,V为负数。

  (2)M表示有效数字,大于等于1,小于2。

  (3)2^E表示指数位。

举例来说,十进制的5.0,写成二进制是101.0,相当于1.01×2^2。那么,按照上面V的格式,可以得出s=0,M=1.01,E=2。

十进制的-5.0,写成二进制是-101.0,相当于-1.01×2^2。那么,s=1,M=1.01,E=2。

IEEE 754规定,对于32位的浮点数,最高的1位是符号位s,接着的8位是指数E,剩下的23位为有效数字M。


对于64位的浮点数,最高的1位是符号位S,接着的11位是指数E,剩下的52位为有效数字M。


4、

IEEE 754对有效数字M和指数E,还有一些特别规定。

前面说过,1≤M<2,也就是说,M可以写成1.xxxxxx的形式,其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定,在计算机内部保存M时,默认这个数的第一位总是1,因此可以被舍去,只保存后面的xxxxxx部分(不够23位后面补0)。比如保存1.01的时候,只保存01,等到读取的时候,再把第一位的1加上去。这样做的目的,是节省1位有效数字。以32位浮点数为例,留给M只有23位,将第一位的1舍去以后,等于可以保存24位有效数字


至于指数E,情况就比较复杂。

首先,E为一个无符号整数(unsigned int)。这意味着,如果E为8位,它的取值范围为0~255;如果E为11位,它的取值范围为0~2047。但是,我们知道,科学计数法中的E是可以出现负数的,所以IEEE 754规定,E的真实值必须再减去一个中间数,对于8位的E,这个中间数是127;对于11位的E,这个中间数是1023。

比如,2^10的E是10,所以保存成32位浮点数时,必须保存成10+127=137,即10001001。(即在计算机保存中存为137)

然后,指数E还可以再分成三种情况:

(1)(保存值)E不全为0或不全为1。这时,浮点数就采用上面的规则表示,即指数E的计算值减去127(或1023),得到真实值,再将有效数字M前加上第一位的1。

(2)(保存值)E全为0。这时,浮点数的指数E等于1-127(或者1-1023),有效数字M不再加上第一位的1,而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0,以及接近于0的很小的数字。

e = 0 时  E = 1 – 127 = -126, M = 0 + decimals = decimals , 我们简单的记为 0.m
e != 0 时  E = e – 127,  M = 1 + decimals , 我们简单的记为 1.m
 
至于e = 0 时,E 为什么不取为 0 –127 而是 1 – 127, 这是为了实现 一个平稳的过渡。简单的说,就是 e = 0 时最大的数,
和 e = 1 时最小的数要非常的接近。
e = 0时 最大的M 可以 0.99999988079071044921875 ,而最小的 e  = 1 时,最小的 M = 1,这两个M是连续的(非常接近),必须保证指数是一样的时候,他们才会衔接的很好,这是IEEE 754 用的一点小技巧。
 
简单的说:
IF (e ==0)
    E = –126
    M = 0.m
    return float(sign, E, M)
ELSE
    E = e – 127
    M = 1.m
    return float(sign, E, M)

(3)(内存)E全为1。这时,如果有效数字M全为0,表示±无穷大(正负取决于符号位s);如果有效数字M不全为0,表示这个数不是一个数(NaN)。

5、

好了,关于浮点数的表示规则,就说到这里。

下面,让我们回到一开始的问题:为什么0x00000009还原成浮点数,就成了0.000000?//先用2进制表示

首先,将0x00000009拆分,得到第一位符号位s=0,后面8位的指数E=00000000,最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。

由于指数E全为0,所以符合上一节的第二种情况。因此,浮点数V就写成:

  V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)

显然,V是一个很小的接近于0的正数,所以用十进制小数表示就是0.000000。


再看例题的第二部分。

请问浮点数9.0,如何用二进制表示?还原成十进制又是多少?//先用转换成2进制表示

首先,浮点数9.0等于二进制的1001.0,即1.001×2^3。

那么,第一位的符号位s=0,有效数字M等于001后面再加20个0,凑满23位,指数E等于3+127=130,即10000010。

所以,写成二进制形式,应该是s+E+M,即0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。这个32位的二进制数,还原成十进制,正是1091567616。


从float 到 double 的转换:
 
一个数字,不管是float 还是 double 。肯定都有一样的 sign E M
但是 sign e m 这三个的表示可能有所不同。
可以发现,sign肯定是相同的。
e 和 m 可能不同。
float 的e 我们记为 ef
double 的e 我们记为 ed
 
这样 ef – 127 = ed – 1023
ed = ef – 127 + 1023
m 从二进制上看更加直观, 他们表示的都是一个二进制的小数,所以,应该完全一致,才能表示出一样的M
 
利用上面的算法,我表示一下上图中的float 到double
0 01111111100 0100000000000000000000000000000000000000000000000000

考虑到一些语言没有 float 也 没有int64 ,完全就用int 来表示这个过程。
 

     int buffer[2];

     int sign =  value >> 31;
     int M    =  value & 0x007FFFFF;
     int e     =  ((value >> 23 ) & 0xFF) - 127 + 1023;

   
     //小尾的机器
     buffer[1] = ((sign & 1) << 31) | ((e & 0x7FF) << 20) | (M >> 3);
     buffer[0] = (M & 0x7) << 29;

    

     //大尾的机器

buffer[0] = ((sign & 1) << 31) | ((e & 0x7FF) << 20) | (M >> 3);
      buffer[1] = (M & 0x7) << 29;



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