P1072 Hanson 的趣味题

题目描述

Hanks 博士是 BT(Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hanson。现在，刚刚放学回家的 Hanson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数$c_1$ 和 $c_2$ 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hanson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数$a_0,a_1,b_0,b_1$，设某未知正整数$x$满足：

1． $x$ 和 $a_0$ 的最大公约数是 $a_1$；

2． $x$和 $b_0$ 的最小公倍数是$b_1$。

Hanson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数$x$。但稍加思索之后，他发现这样的$x$并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的$x$的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

第一行为一个正整数 $n$，表示有 $n$ 组输入数据。接下来的$n$行每行一组输入数据，为四个正整数 $a_0,a_1,b_0,b_1$，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 $a_0$能被 $a_1$ 整除，$b_1$ 能被$b_0$整除。

输出格式

共$n$行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的$x$，请输出 $0$；

若存在这样的$x$，请输出满足条件的$x$ 的个数；

输入输出样例

输入 #1

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776

输出 #1

6 
2

说明/提示

【说明】

第一组输入数据，$x$可以是$ 9,18,36,72,144,288$，共有$6$个。

第二组输入数据，$x$ 可以是$48,1776$共有$2$个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 $1≤a_0,a_1,b_0,b_1≤10000$ 且$n≤100$。

对于 100%的数据，保证有 $1≤a_0,a_1,b_0,b_1≤2,000,000,000$ 且 $n≤2000$。

题解

分析

\[gcd(x,a_0)=a_1\\lcm(x,b_0)=b_1 \]

枚举$x$，使得满足第一个条件，由此可以推出。

\[gcd(\tfrac{x}{a_1},\tfrac{a_0}{a_1})=1 \]

同理

\[\begin{cases}ax=b_1\\bb_0=b_1\end{cases}\Longrightarrow\gcd(a,b)=1\\\begin{cases}a=b_1/x\\b=b_1/b_0\end{cases} \]

整合，得出

\[\begin{cases}gcd(\tfrac{b_1}{x},\tfrac{b_1}{b_0})=1\\gcd(\tfrac{x}{a_1},\tfrac{a_0}{a_1})=1\end{cases} \]

于是，我们先用$2log(n)$的算法暴力枚举因数，然后判断2次$gcd$就可以了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int gcd(int a,int b) {
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int T,a1,a2,b1,b2,op,ans;
int main(){
	read(T);
	while(T--){
		ans=0;
		read(a1),read(a2),read(b1),read(b2);
		op=sqrt(b2);
		for(int i=1;i<=op;i++){
			if(b2%i==0){
				if(i%a2==0&&gcd(i/a2,a1/a2)==1&&gcd(b2/b1,b2/i)==1) ans++;
				int y=b2/i;
				if(i==y) continue;
				if(y%a2==0&&gcd(y/a2,a1/a2)==1&&gcd(b2/b1,b2/y)==1) ans++;
			
			}
				
		}
		cout<<ans<<endl; 
	}
	return 0;
}