剑指offer刷题记录之斐波那契数列

1. 题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。
n<=39

2. 暴力解题(自下而上)

2.1 分析

斐波那契数列指的是这样一个数列：这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和：

本题中：
$f(0)=0, f(1)=1$
最简单暴力的方法就是循环从第2项开始算一直算到第n项。

2.2 代码

    def Fibonacci(self, n):
        # write code here
        if n == 0:
            return 0
        elif n == 1:
            return 1
        else:
            f0 = 0
            f1 = 1
            for i in range(2, n+1):
                f2 = f0+f1
                f0 = f1
                f1 = f2
            return f2

2.3 复杂度

时间复杂度： O(n)

3. 递归（自上而下）

3.1 分析

$f(n) = f(n-1) + f(n-2) \\ f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) \\ f(n-2) = f(n-3) + f(n-4) \\ ... \\ f(2) = f(1) + f(0)$

3.2 代码

class Solution:
    def Fibonacci(self, n):
        # write code here
        if n == 0:
            return 0
        elif n == 1:
            return 1
        elif n >= 2:
            return self.Fibonacci(n-1) + self.Fibonacci(n-2)

利用上面递推式，自顶向下进行求解，因为存在大量的重叠子问题，时间复杂度为 $O(2^n)$,在牛客中超时未能通过

3.3 复杂度

时间复杂度： $O(2^n)$

4. 其他解法