维纳滤波原理及实现

问题描述：

设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是 $h(n)$,当输入一个观测到的随机信号 $x(n)$，简称观测值，且该信号包含噪声 $w(n)$和有用信号 $s(n)$，也即
$x(n)=w(n)+s(n)$
则输出(估计值)为：
$y(n)=x(n)*h(n)=\Sigma_{m=-\infty}^{+\infty} h(m)x(n-m)=\hat{s}(n)$
(如果该系统是因果系统，上式中的 $m＝0，1，2，…$)

这里用 $e(n)$来表示真值和估计值之间的误差:
$e(n)=s(n)-\hat{s}(n)$
维纳滤波的误差准则就是最小均方误差准则:
$E(e(n)^2) = E((s(n)-\hat{e}(n))^2)$

我们希望输出得到的 $y(n)$与有用信号 $s(n)$尽量接近,也就是使上式尽量小。

问题求解：

$E[e(n)^2] = E((s(n)-\Sigma_{m=0}^{+\infty} h(m)x(n-m))^2)$
要使得均方误差最小，可以对 $h(m),m=0,1,2...$求偏导，并令结果等于0。

即：
$2E[(s(n)-\Sigma_{m=0}^{+\infty} h_{opt}(m)x(n-m))x(n-j)] \qquad j\geq 0$

用相关函数 $R$来表达上式，则得到维纳-霍夫方程的离散形式：
$R_{xs}(j)=\Sigma_{m=0}^{+\infty}h_{opt}(m)R_{xx}(j-m) \qquad j\geq 0$

在求解上面的方程得到 $h_{opt}$的情况下，将其代入 $E[e(n)^2]$的表达式中得：
$E[e(n)^2]_{min}=R_{ss}(0)-\Sigma_{m=0}^{+\infty}h_{opt}(m)R_{xs}(m)$

求解维纳-霍夫方程

这个还没看懂，以后再更。

代码实现

import numpy as np 

def cross_correlation_wiener(ts, new_order, old_order):
    n_taps = ts.size
    n_size = n_taps if n_taps>new_order else new_order
    out_data = []
    for i in range(-n_taps,n_taps+1):
        ts_sum = 0.0
        for j in range(n_size):
            if ((j+i)<n_taps and j<new_order and (j+i)>-1):
                ts_sum += ts[j+i]
        out_data.append(ts_sum)
    out = out_data[-old_order-n_taps-1:-old_order-1]
    return np.asarray(out)

def wiener_filter_1d(t_series,order):
    new_order = 2*order+1
    t_2_series = pow(t_series,2)
    t_lmean = cross_correlation_wiener(t_series, new_order, order)
    lmean = t_lmean/new_order
    t_lvar = cross_correlation_wiener(t_2_series, new_order, order)
    lvar = t_lvar/new_order - pow(lmean,2)
    est_n = sum(lvar)/lvar.size
    res = []
    for i in range(t_series.size):
        if lvar[i] <est_n:
            res.append(lmean[i])
        else:
            res.append((t_series[i]-lmean[i])*(1-(est_n/lvar[i]))+lmean[i])
    return np.asarray(res)

if __name__ == "__main__":
    time_series = np.asarray([112,31,42,54,432,245,23,34,567,8,468,623,232,743,121])
    order = 2
    wf1d = wiener_filter_1d(time_series, order)
    print(wf1d)