内容
在一张图上有 \(n\) 个节点，可以产生的生成树个数为 \(n^{n-2}\)
如果指定根就是：\(n^{n-1}\)（一棵树可以有\(n\)个根，变化出 \(n\) 中方案乘一下）
证明
一一对应法。
设\(n\)个点为：\(1,2,... n\).
假设 \(T\) 是其中一棵树，树叶中有标号最小的，设为 \(a_1\) ， \(a_1\) 的临界点为\(b_1\)
从图中消去 \(a_1\) 点和边 \((a_1,b_1)\) ，\(b_1\) 点便成为消去后余下的树 \(T_1\) 的叶子节点。
在树 \(T_1\) 中继续寻找标号最小的树叶，设为 \(a_2\)，\(a_2\) 的邻接点为 \(b_2\)，从 T_1 中消去 a_2 及边 \((a2,b2)\)。
如此步骤共执行 \(n-2\) 次，直到最后只剩下一条边为止.于是一棵树对应一序列 $ b$
\(b_1,b_2,⋯,b_{n-2}\) 是 \(1\) 到 \(n\) 的数，并且允许重复。
反过来从 \(b\) 可以恢复树 \(T\) 本身，方法如下：
一个是顶点标号的有序序列
\[a_{1 \rightarrow n}\]
另一个是生成的序列
\[{b_{1 \rightarrow n}}\]
过程：在序列 \(a\) 中找出第一个不出现在序列 \(b\) 中的数
这个数显然便是 \(a_1\)，同时形成的边 \((a_1,b_1)\)，并从 \(a\) 中消去 \(a_1\) ,从 \(b\) 中消去\(b_1\)
在余下的序列中继续以上的步骤 \(n-3\) 次，直到序列 \(b\) 为空集为止。这
时序列(1)剩下的两个数\(a_ k,b_k\)，边\((a_k,b_k)\)是树 \(T\) 的最后一条边。
上面的过程说明过 \(n\) 个已知标号的顶点的树和序列 \({b_{1 \rightarrow n}}\) 一一对应
根据乘法法则可得，过 \(n\) 个有标号（相当于互异）的顶点的树的数目，为 \(n^{n-2}\) 个.
\[Q.A.D\]
\(P.s.\) 博主知道是 \(QED\)
挺爽的，学会了就可以来十行之内写 \(LGOJ\) 蓝牌题了
例题
1.LGOJ4430 小猴打架
这个题就可以拿定理水了吧……
首先树的构成有 \(n^{n-2}\) 种，然后每一棵树有 \((n-1) \space!\) 中构造方式（\(n-1\)条边，不限定顺序，然后是小学知识了吧……）
答案就是：\((n-1) \space ! \times n^{n-2}\)
这种结论题还是挺恐怖的，猜错了就……
2.LGOJ4981 父子
太裸了……直接快速幂加结论就完了