$Lucas$定理

$ C_n^m\pmod p\equiv C_{n\mod p}^{m\mod p}*C_{\lfloor n/p\rfloor}^{\lfloor m/p\rfloor}\pmod p $

一句话概括，就是一个组合数可以拆成$P$进制下的乘积

这个算法可以处理当$m,n$非常大的时候的取模$($当然你可以用高精度处理$)$

需要注意的几点

$Lucas(x,0,mod)=1$，直接返回$1$即可

注意处理阶乘的数组 $a[0]=1$，因为$0!=1$

开$long~long$

注意处处取模

$Describtion$

给定$n,m,p(1<=n,m,p<=10^5)$

求$C_{n+m}^m\ mod\ p$

保证$p$为质数

$Input$

第一行一个数$T(T<=10)$，表示数据组数

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第二行开始共$T$行，每行三个数$n,m,p$

$Output$

共$T$行,每行一个整数表示答案

$Solution$

就是模板，我又有什么可说的呢

用$a[i]$表示$i$的阶乘，当然要取模
有个特别注意的点，当且仅当$gcd(a,p)=1$且$p$是质数时，$a^{p-1}=1\pmod p$(费马小定理)成立，所以这个题直接用费马小定理处理逆元即可
具体细节自己看代码吧

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define maxn 100010
#define ll long long
using namespace std;
ll a[maxn];
int T,n,m,p;
ll quickpower(ll A,int B,int mod)
{
    A%=mod;
    ll ans=1;
    while(B)
    {
        if(B&1)
        ans=(ans*A)%mod;
        A=(A*A)%mod;
        B>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll CC(ll n,ll m)
{
    /*注意判断*/if(m>n) return 0;
    //注意取模 
    //费马小定理求逆元 
    return ((a[n]*quickpower(a[m],p-2,p))%p*quickpower(a[n-m],p-2,p)%p); 
}
ll Lucas(ll n,ll m)
{
    if(!m) return 1;
    return CC(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p;//注意取模 
}
int main()
{
    T=read();
    while(T--)
    {
        n=read(); m=read(); p=read();
        a[0]=1;//特别注意!!!
        for(int i=1;i<=p;++i) a[i]=(a[i-1]*i)%p;
        printf("%d\n",Lucas(n+m,m));
    }
    return 0;
}

【学习笔记】Lucas定理

\(Lucas\)定理

需要注意的几点

\(Describtion\)

\(Input\)

\(Output\)

\(Solution\)

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