codeforces 958C2 区间DP

codeforces 958C2

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题意：

$给定一串长度为n的数字，将其分割为k段区间。各段区间数字相加，对p取模。$
$问k段区间最大和。$

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题解：

$dp[i][j]表示长度为i的子串分割为j段的最优解，用sum[i]维护区间[1,i]的前缀和。$

• $dp[i][j] = max(dp[i]][j], dp[i][j-1]+(sum[r]-sum[l]+p)\%p)$
• $ans=dp[n][k]$

时间复杂度

• $O(n^2k)$

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区间DP优化

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$由于n≤20000，显然超时。而f[i]<p≤100，故将枚举1—l改为枚举0—p。$
$dp[f[i]][j]表示值为f[i]的子串分割为j段的最优解。$

• $dp[f[i]][j] = max(dp[f[i]][j], dp[mod][j-1]+(sum[i]-mod+p)\%p)$
• $ans=dp[sum[n]][k]$

时间复杂度

• $O(p^2k)$

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#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 20001;
long long sum[N];
long long dp[N][51];

int main() {
    int n, k, p, x;
    cin >> n >> k >> p;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
        cin >> x;
        sum[i] = (sum[i-1]+x)%p;
    }
    for(int i = 0 ; i <= p ; i++){
        for(int j = 0 ; j <= k ; j++){
            dp[i][j] = -1 << 30;
        }
    }
    dp[0][0] = 0;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
       for(int j = 1 ; j <= k ; j++){
           for(int mod = 0 ; mod <= p ; mod++){
               dp[sum[i]][j] = max(dp[sum[i]][j], dp[mod][j-1]+(sum[i]-mod+p)%p);
           }
       }
    }
    cout << dp[sum[n]][k] << endl;
    return 0; 
}